Utilizando o teorema da divergência calcule
onde
é a fronteira do cilindro
e
é a normal apontando para fora de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície
, onde
é a fronteira de um cilindro
definido por
e
. O campo vetorial dado é
, e
é a normal que aponta para fora de
. Vamos usar o Teorema da Divergência para resolver isso. Então, precisamos entender o que é divergência e como aplicá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidamente sobre o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral de volume da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Em fórmula:
Então, ao invés de calcular a integral na superfície, que pode ser complicada, vamos calcular a divergência de
e depois integrar isso sobre o volume do cilindro.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Portanto,
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos configurar a integral de volume. Nosso cilindro
tem
e
. É mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas para este tipo de domínio. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é
.
Passo 5
Vamos reescrever a divergência em coordenadas cilíndricas. Como
, que não depende de
nem de
, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
A integral agora é:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.