Utilizando o teorema da divergência calcule integral dupla S f cdot n d S onde S é a fronteira do cilindro T=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 1, f(x, y, z)=(x, y, z^2) e n é a normal apontando para fora de T.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície integral duplaS f cdot n , dS, onde S é a fronteira de um cilindro T definido por x^2 + y^2 <= 1 e 0 <= z <= 1. O campo vetorial dado é f(x, y, z) = (x, y, z^2), e n é a normal que aponta para fora de T. Vamos usar o Teorema da Divergência para resolver isso. Então, precisamos entender o que é divergência e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidamente sobre o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial f sobre uma superfície fechada S é igual à integral de volume da divergência de f sobre o volume V limitado por S. Em fórmula:
integral duplaS f cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot f , dV
Então, ao invés de calcular a integral na superfície, que pode ser complicada, vamos calcular a divergência de f e depois integrar isso sobre o volume do cilindro.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de f. A divergência de um campo vetorial f = (fx, fy, fz) é dada por:
nabla cdot f = partial fxpartial x + partial fypartial y + partial fzpartial z
No nosso caso, f(x, y, z) = (x, y, z^2), então:
partial fxpartial x = partial xpartial x = 1
partial fypartial y = partial ypartial y = 1
partial fzpartial z = partial z^2partial z = 2z
Portanto,
nabla cdot f = 1 + 1 + 2z = 2 + 2z

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos configurar a integral de volume. Nosso cilindro T tem x^2 + y^2 <= 1 e 0 <= z <= 1. É mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas para este tipo de domínio. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = z
E o elemento de volume é dV = r , dr , dtheta , dz.

Passo 5

Vamos reescrever a divergência em coordenadas cilíndricas. Como nabla cdot f = 2 + 2z, que não depende de r nem de theta, a integral fica:
integral triplaT (2 + 2z) , dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^1 (2 + 2z) , r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^1 (2 + 2z) , dz = [ 2z + z^2 ]0^1 = 2(1) + (1)^2 - (0) = 2 + 1 = 3
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 3r , dr , dtheta

Passo 7

Agora, integramos em relação a r:
integral0^1 3r , dr = 3 integral0^1 r , dr = 3 [ r^22 ]0^1 = 3 ( 12 - 0 ) = 32
A integral agora é:
integral0^2pi 32 , dtheta = 32 integral0^2pi dtheta = 32 cdot 2pi = 3pi

Resposta

A integral de superfície integral duplaS f cdot n , dS é igual a 3pi.

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