Problema: Resposta Transitória de um Circuito RLC a um Pulso de Tensão
Considere um circuito RLC em série, composto por um resistor ® de resistência R ohms, um indutor ( L ) de indutância
henrys e um capacitor ( C ) de capacitância
farads. O circuito é submetido a um pulso de tensão
definido como:
As condições iniciais são
(corrente inicial) e
(carga inicial). A equação diferencial que descreve a corrente
no circuito RLC é uma equação de segunda ordem. Ela é derivada das leis de Kirchhoff e é dada por:
Onde: - L é a indutância em henrys
. - R é a resistência em ohms
. - C é a capacitância em farads (F). -
é a corrente em amperes (A). - V( t ) é a tensão aplicada em volts (V).
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes que modela a resposta transitória do circuito RLC à tensão de entrada
. A solução dessa equação fornecerá informações sobre a corrente, a carga e as tensões nos componentes do circuito conforme o tempo avança após a aplicação do pulso de tensão.
Considere um circuito RLC em série, composto por um resistor ® de resistência R ohms, um indutor ( L ) de indutância
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes que modela a resposta transitória do circuito RLC à tensão de entrada
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema sobre a Resposta Transitória de um Circuito RLC a um Pulso de Tensão. A gente tem um circuito que combina resistor ®, indutor (L) e capacitor © em série, e a gente quer descobrir como a corrente i(t) muda no tempo quando aplicamos um pulso de tensão. Para isso, vamos usar equações diferenciais de segunda ordem que descrevem o comportamento desse circuito. Vamos precisar entender um pouco sobre como resolver essas equações e aplicar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve a corrente no circuito:
Aqui, L é a indutância, R é a resistência, e C é a capacitância. A tensão aplicada V(t) é um pulso que liga em t=0:
Como queremos saber a corrente para t ≥ 0, a derivada de V(t) com relação ao tempo para t > 0 é zero. Então, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial homogênea de segunda ordem. Para isso, precisamos achar as raízes da equação característica associada. A equação característica é formada substituindo i(t) = e^{rt} na equação diferencial:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar r:
O discriminante é Δ = R² - 4L/C. Dependendo do valor de Δ, teremos diferentes tipos de soluções:
- Δ > 0: Raízes reais e distintas (sobreamortecido)
- Δ = 0: Raízes reais e iguais (amortecimento crítico)
- Δ < 0: Raízes complexas conjugadas (subamortecido)
Passo 5
Vamos considerar que Δ > 0, ou seja, o circuito é sobreamortecido. As soluções para r são reais e diferentes:
Então, a solução geral para i(t) é:
Onde A e B são constantes que a gente vai determinar usando as condi��ões iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais dadas:
- i(0) = 0
- q(0) = 0
Mas como q(t) é a carga, e i(t) = dq/dt, então q(0) = 0 já está implícito na corrente inicial. Vamos focar em i(0) = 0 e na derivada de i(t) para t=0.
Primeiro, aplicando i(0) = 0:
Agora, vamos encontrar a derivada de i(t):
Aplicando a condição inicial para a corrente, que é i(0) = 0, já usamos para achar A = -B. Precisamos agora da condição relacionada à derivada, que pode ser derivada da expressão da tensão no instante inicial.
A derivada da corrente na condição inicial pode ser relacionada pela equação diferencial original. Como para t=0, V(t) muda de 0 para V₀, a derivada de V(t) é um delta de Dirac, mas considerando para t>0 a equação é homogênea, a condição para a derivada em t=0 pode ser obtida a partir da equação diferencial.
Rearranjando a equação diferencial:
Como i(0) = 0 e a corrente inicial é 0, a derivada da corrente inicialmente será:
Então:
Como A = -B, substituindo:
Passo 7
Agora que temos A e B, podemos escrever a solução final para i(t):
Onde:
Resposta
A corrente no circuito RLC para t ≥ 0 é dada por:
Onde as raízes r₁ e r₂ são:
Essa expressão descreve como a corrente evolui ao longo do tempo após a aplicação do pulso de tensão no circuito RLC.