Problema: Resposta Transitória de um Circuito RLC a um Pulso de Tensão
Considere um circuito RLC em série, composto por um resistor ® de resistência R ohms, um indutor ( L ) de indutância L henrys e um capacitor ( C ) de capacitância C farads. O circuito é submetido a um pulso de tensão V(t) definido como:
V(t)= V0, & para t >= 0( pulso ligado ) 0, & para t<0( pulso desligado )
As condições iniciais são i(0)=0 A (corrente inicial) e q(0)=0 C (carga inicial). A equação diferencial que descreve a corrente i(t) no circuito RLC é uma equação de segunda ordem. Ela é derivada das leis de Kirchhoff e é dada por:
L d^2 i(t)d t^2+R d i(t)d t+1C i(t)=dd t(V(t))
Onde: - L é a indutância em henrys (H). - R é a resistência em ohms (Omega). - C é a capacitância em farads (F). - i(t) é a corrente em amperes (A). - V( t ) é a tensão aplicada em volts (V).
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes que modela a resposta transitória do circuito RLC à tensão de entrada V(t). A solução dessa equação fornecerá informações sobre a corrente, a carga e as tensões nos componentes do circuito conforme o tempo avança após a aplicação do pulso de tensão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema sobre a Resposta Transitória de um Circuito RLC a um Pulso de Tensão. A gente tem um circuito que combina resistor ®, indutor (L) e capacitor © em série, e a gente quer descobrir como a corrente i(t) muda no tempo quando aplicamos um pulso de tensão. Para isso, vamos usar equações diferenciais de segunda ordem que descrevem o comportamento desse circuito. Vamos precisar entender um pouco sobre como resolver essas equações e aplicar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve a corrente no circuito:
L d^2 i(t)d t^2 + R d i(t)d t + 1C i(t) = dd t V(t)
Aqui, L é a indutância, R é a resistência, e C é a capacitância. A tensão aplicada V(t) é um pulso que liga em t=0:
V(t) = V0, & para t >= 0 0, & para t < 0
Como queremos saber a corrente para t ≥ 0, a derivada de V(t) com relação ao tempo para t > 0 é zero. Então, nossa equação fica:
L d^2 i(t)d t^2 + R d i(t)d t + 1C i(t) = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial homogênea de segunda ordem. Para isso, precisamos achar as raízes da equação característica associada. A equação característica é formada substituindo i(t) = e^{rt} na equação diferencial:
L r^2 + R r + 1C = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar r:
r = -R pm raizR^2 - 4 cdot L cdot 1C2L = -R pm raizR^2 - 4LC2L
O discriminante é Δ = R² - 4L/C. Dependendo do valor de Δ, teremos diferentes tipos de soluções:
  • Δ > 0: Raízes reais e distintas (sobreamortecido)
  • Δ = 0: Raízes reais e iguais (amortecimento crítico)
  • Δ < 0: Raízes complexas conjugadas (subamortecido)

Passo 5

Vamos considerar que Δ > 0, ou seja, o circuito é sobreamortecido. As soluções para r são reais e diferentes:
r1 = -R + raizR^2 - 4LC2L, r2 = -R - raizR^2 - 4LC2L
Então, a solução geral para i(t) é:
i(t) = A e^r1 t + B e^r2 t
Onde A e B são constantes que a gente vai determinar usando as condi��ões iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais dadas:
  1. i(0) = 0
  2. q(0) = 0
Mas como q(t) é a carga, e i(t) = dq/dt, então q(0) = 0 já está implícito na corrente inicial. Vamos focar em i(0) = 0 e na derivada de i(t) para t=0.
Primeiro, aplicando i(0) = 0:
0 = A e^0 + B e^0 0 = A + B A = -B
Agora, vamos encontrar a derivada de i(t):
di(t)dt = A r1 e^r1 t + B r2 e^r2 t
Aplicando a condição inicial para a corrente, que é i(0) = 0, já usamos para achar A = -B. Precisamos agora da condição relacionada à derivada, que pode ser derivada da expressão da tensão no instante inicial.
A derivada da corrente na condição inicial pode ser relacionada pela equação diferencial original. Como para t=0, V(t) muda de 0 para V₀, a derivada de V(t) é um delta de Dirac, mas considerando para t>0 a equação é homogênea, a condição para a derivada em t=0 pode ser obtida a partir da equação diferencial.
Rearranjando a equação diferencial:
d^2 i(0)dt^2 + RL d i(0)dt + 1LC i(0) = dV(t)dt g|t=0
Como i(0) = 0 e a corrente inicial é 0, a derivada da corrente inicialmente será:
d i(0)dt = V0L
Então:
A r1 + B r2 = V0L
Como A = -B, substituindo:
A (r1 - r2) = V0L A = V0L (r1 - r2) B = -V0L (r1 - r2)

Passo 7

Agora que temos A e B, podemos escrever a solução final para i(t):
i(t) = V0L (r1 - r2) ( e^r1 t - e^r2 t )
Onde:
r1,2 = -R pm raizR^2 - 4LC2L

Resposta

A corrente no circuito RLC para t ≥ 0 é dada por:
i(t) = V0L (r1 - r2) ( e^r1 t - e^r2 t )
Onde as raízes r₁ e r₂ são:
r1,2 = -R pm raizR^2 - 4LC2L
Essa expressão descreve como a corrente evolui ao longo do tempo após a aplicação do pulso de tensão no circuito RLC.

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