O que é o valor esperado condicionado? Defina-o matematicamente e descreva suas propriedades.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A pergunta é sobre valor esperado condicionado, que faz parte da teoria das probabilidades. Para resolver isso, vamos precisar definir matematicamente o valor esperado condicionado e depois falar sobre suas principais propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o valor esperado. O valor esperado, ou esperança matemática, é uma média ponderada de todos os resultados possíveis de uma variável aleatória, onde cada resultado é ponderado pela sua probabilidade de ocorrência.

Passo 3

Agora, o valor esperado condicionado é uma extensão desse conceito. Ele nos diz qual é o valor esperado de uma variável aleatória X, dado que conhecemos o valor de outra variável aleatória Y. Em outras palavras, é o valor esperado de X sabendo que Y aconteceu de uma certa maneira.

Passo 4

Matematicamente, o valor esperado condicionado é definido como:
E[X mid Y] = sumx x cdot P(X = x mid Y)
ou, se estivermos lidando com variáveis contínuas:
E[X mid Y] = integral-infty^infty x cdot fX|Y(x|Y) , dx
Aqui, é a probabilidade de ser igual a dado , e é a função de densidade condicional de dado .

Passo 5

Vamos falar sobre algumas propriedades importantes do valor esperado condicionado:
  1. Lei da Iteração:
E[E[X mid Y]] = E[X]
Isso significa que se você primeiro calcula o valor esperado condicionado e depois o valor esperado dessa quantidade, você volta ao valor esperado original de E[aX + bZ mid Y] = a E[X mid Y] + b E[Z mid Y] .
  1. Linearidade:
E[X mid Y, Z] = E[X mid Y]
Onde E[X mid Y] = E[X] e são constantes, e e são variáveis aleatórias. Isso mostra que o valor esperado condicionado preserva operações lineares.
  1. Torre de Expectativas:
Se contém toda a informação relevante para que poderia adicionar, então o valor esperado condicionado em relação a e é o mesmo que em relação a sozinho.
  1. Se é independente de :
Isso quer dizer que se e não têm relação, conhecer não muda o valor esperado de .

Resposta

Então, resumindo, o valor esperado condicionado é a média ponderada de uma variável aleatória X considerando que uma outra variável Y está conhecida. Ele é definido matematicamente como e possui propriedades como a lei da iteração, linearidade, a torre de expectativas e a independência, que ajudam a simplificar cálculos em diferentes contextos na teoria das probabilidades.

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