O que é o valor esperado condicionado? Defina-o matematicamente e descreva suas propriedades.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A pergunta é sobre valor esperado condicionado, que faz parte da teoria das probabilidades. Para resolver isso, vamos precisar definir matematicamente o valor esperado condicionado e depois falar sobre suas principais propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o valor esperado. O valor esperado, ou esperança matemática, é uma média ponderada de todos os resultados possíveis de uma variável aleatória, onde cada resultado é ponderado pela sua probabilidade de ocorrência.
Passo 3
Agora, o valor esperado condicionado é uma extensão desse conceito. Ele nos diz qual é o valor esperado de uma variável aleatória X, dado que conhecemos o valor de outra variável aleatória Y. Em outras palavras, é o valor esperado de X sabendo que Y aconteceu de uma certa maneira.
Passo 4
Matematicamente, o valor esperado condicionado é definido como:
ou, se estivermos lidando com variáveis contínuas:
Aqui,
é a probabilidade de
ser igual a
dado
, e
é a função de densidade condicional de
dado
.
Passo 5
Vamos falar sobre algumas propriedades importantes do valor esperado condicionado:
- Lei da Iteração:
Isso significa que se você primeiro calcula o valor esperado condicionado e depois o valor esperado dessa quantidade, você volta ao valor esperado original de
.
- Linearidade:
Onde
e
são constantes, e
e
são variáveis aleatórias. Isso mostra que o valor esperado condicionado preserva operações lineares.
- Torre de Expectativas:
Se
contém toda a informação relevante para
que
poderia adicionar, então o valor esperado condicionado em relação a
e
é o mesmo que em relação a
sozinho.
- Se
é independente de :
Isso quer dizer que se
e
não têm relação, conhecer
não muda o valor esperado de
.
Resposta
Então, resumindo, o valor esperado condicionado é a média ponderada de uma variável aleatória X considerando que uma outra variável Y está conhecida. Ele é definido matematicamente como
e possui propriedades como a lei da iteração, linearidade, a torre de expectativas e a independência, que ajudam a simplificar cálculos em diferentes contextos na teoria das probabilidades.