O que é o valor esperado condicionado? Defina-o matematicamente e descreva suas propriedades.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A pergunta é sobre valor esperado condicionado, que faz parte da teoria das probabilidades. Para resolver isso, vamos precisar definir matematicamente o valor esperado condicionado e depois falar sobre suas principais propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o valor esperado. O valor esperado, ou esperança matemática, é uma média ponderada de todos os resultados possíveis de uma variável aleatória, onde cada resultado é ponderado pela sua probabilidade de ocorrência.
Passo 3
Agora, o valor esperado condicionado é uma extensão desse conceito. Ele nos diz qual é o valor esperado de uma variável aleatória X, dado que conhecemos o valor de outra variável aleatória Y. Em outras palavras, é o valor esperado de X sabendo que Y aconteceu de uma certa maneira.
Passo 4
Matematicamente, o valor esperado condicionado é definido como:
ou, se estivermos lidando com variáveis contínuas:
Aqui,
é a probabilidade de
ser igual a
dado
, e
é a função de densidade condicional de
dado
.
Passo 5
Vamos falar sobre algumas propriedades importantes do valor esperado condicionado:
- Lei da Iteração:
Isso significa que se você primeiro calcula o valor esperado condicionado e depois o valor esperado dessa quantidade, você volta ao valor esperado original de
.
- Linearidade:
Onde
e
são constantes, e
e
são variáveis aleatórias. Isso mostra que o valor esperado condicionado preserva operações lineares.
- Torre de Expectativas:
Se
contém toda a informação relevante para
que
poderia adicionar, então o valor esperado condicionado em relação a
e
é o mesmo que em relação a
sozinho.
- Se
é independente de :
Isso quer dizer que se
e
não têm relação, conhecer
não muda o valor esperado de
.
Resposta
Então, resumindo, o valor esperado condicionado é a média ponderada de uma variável aleatória X considerando que uma outra variável Y está conhecida. Ele é definido matematicamente como
e possui propriedades como a lei da iteração, linearidade, a torre de expectativas e a independência, que ajudam a simplificar cálculos em diferentes contextos na teoria das probabilidades.
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Temos a seguir as notas médias obtidas por oitenta candidatos a um exame de vestibular. Agrupe convenientemente esses valores em classes de mesma amplitude e construa os correspondentes histograma, polígonos de frequências e polígono de frequências relativas acumuladas.
64 | 73 | 44 | 10 | 43 | 31 | 51 | 4 | 25 | 53 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
51 | 36 | 47 | 45 | 65 | 79 | 58 | 45 | 54 | 73 |
28 | 38 | 42 | 49 | 19 | 49 | 65 | 32 | 33 | 11 |
57 | 25 | 39 | 2 | 40 | 22 | 5 | 60 | 44 | 3 |
8 | 3 | 65 | 50 | 38 | 9 | 56 | 21 | 9 | 57 |
15 | 28 | 48 | 47 | 68 | 6 | 34 | 12 | 65 | 28 |
59 | 8 | 54 | 84 | 45 | 39 | 41 | 43 | 41 | 38 |
52 | 63 | 40 | 16 | 52 | 44 | 46 | 59 | 22 | 15 |
Exercício 5
De uma análise de balanço em cinquenta indústrias, obtiveram-se os valores seguintes para seus coeficientes de liquidez. Agrupe estes dados em classes de igual amplitude e construa o histograma, polígono de frequências e o polígono de frequências relativas acumuladas.
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2,9 | 7,5 | 5,0 | 11,6 | 2,7 | 7,9 | 18,8 | 3,8 | 8,5 | 4,4 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
12,9 | 3,3 | 7,4 | 6,3 | 2,6 | 6,9 | 5,6 | 12,4 | 16,0 | 2,7 |
6,3 | 4,4 | 13,1 | 4,8 | 10,0 | 0,4 | 5,5 | 16,2 | 2,3 | 9,5 |
4,5 | 10,6 | 3,2 | 8,7 | 9,0 | 3,9 | 9,2 | 8,4 | 0,8 | 4,6 |
15,6 | 7,1 | 17,8 | 4,5 | 10,5 | 5,3 | 11,8 | 2,3 | 2,4 | 7,5 |
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Determine a média aritmética, mediana e a moda dos seguintes conjuntos de valores:
(a)
(a)
(b)
37 | 38 | 33 | 42 | 35 |
---|---|---|---|---|
44 | 36 | 28 | 37 | 35 |
33 | 40 | 36 | 35 | 37 |
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