O valor máximo de uma função derivável é -2 , atingido em
igual a 0 . Quais afirmações são verdadeiras?
I. A reta tangente no ponto onde
atinge seu valor máximo passa pelo ponto
.
II. A equação da reta tangente a
no ponto de máximo é
, porque representa uma reta que passa pelo ponto
.
III.
.
(a) Apenas (I) é verdadeira.
(b) Apenas (II) é verdadeira.
© Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
(d) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
(e) Todas as opções são verdadeiras.
I. A reta tangente no ponto onde
II. A equação da reta tangente a
III.
(a) Apenas (I) é verdadeira.
(b) Apenas (II) é verdadeira.
© Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
(d) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
(e) Todas as opções são verdadeiras.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o valor máximo de uma função derivável e nos pede para analisar quais das afirmações dadas são verdadeiras. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre derivadas e retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, sabemos que se uma função
atinge um valor máximo em
, então a derivada dessa função nesse ponto deve ser igual a zero. Isso vem do fato de que, no ponto de máximo, a inclinação da função para a direita e para a esquerda se anula.
Matematicamente, isso significa:
Então, qualquer afirmação que contradiga isso já está errada.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação I: “A reta tangente no ponto onde
atinge seu valor máximo passa pelo ponto
.”
A reta tangente em um ponto
de uma função
é dada por:
No nosso caso,
e
, então a equação fica:
Como
, a equação da reta tangente é:
Essa reta claramente passa pelo ponto
, então a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Vamos para a afirmação II: “A equação da reta tangente a
no ponto de máximo é
, porque representa uma reta que passa pelo ponto
.”
Da análise anterior, sabemos que a reta tangente é
. A equação
tem coeficiente angular 1, o que implicaria que
. Mas isso entra em conflito com o fato de que em um ponto de máximo, a derivada deve ser zero. Portanto, a afirmação II é falsa.
Passo 5
Agora, a afirmação III: “
.”
Já estabelecemos que em um ponto de máximo, a derivada é zero, ou seja,
. Portanto, a afirmação de que
é falsa.
Resposta
Apenas a afirmação I é verdadeira. A alternativa correta é a (a).
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