O valor máximo de uma função derivável é -2 , atingido em x igual a 0 . Quais afirmações são verdadeiras?
I. A reta tangente no ponto onde f(x) atinge seu valor máximo passa pelo ponto (0, -2).
II. A equação da reta tangente a f(x) no ponto de máximo é y = x - 2, porque representa uma reta que passa pelo ponto (0, -2).
III. f'(0) > 0.
(a) Apenas (I) é verdadeira.
(b) Apenas (II) é verdadeira.
© Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
(d) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
(e) Todas as opções são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o valor máximo de uma função derivável e nos pede para analisar quais das afirmações dadas são verdadeiras. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre derivadas e retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se uma função atinge um valor máximo em , então a derivada dessa função nesse ponto deve ser igual a zero. Isso vem do fato de que, no ponto de máximo, a inclinação da função para a direita e para a esquerda se anula.
Matematicamente, isso significa:
Então, qualquer afirmação que contradiga isso já está errada.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação I: “A reta tangente no ponto onde atinge seu valor máximo passa pelo ponto .”
A reta tangente em um ponto de uma função é dada por:
No nosso caso, e , então a equação fica:
Como , a equação da reta tangente é:
Essa reta claramente passa pelo ponto , então a afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Vamos para a afirmação II: “A equação da reta tangente a no ponto de máximo é , porque representa uma reta que passa pelo ponto .”
Da análise anterior, sabemos que a reta tangente é . A equação tem coeficiente angular 1, o que implicaria que . Mas isso entra em conflito com o fato de que em um ponto de máximo, a derivada deve ser zero. Portanto, a afirmação II é falsa.

Passo 5

Agora, a afirmação III: “ .”
Já estabelecemos que em um ponto de máximo, a derivada é zero, ou seja, . Portanto, a afirmação de que é falsa.

Resposta

Apenas a afirmação I é verdadeira. A alternativa correta é a (a).

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