O valor do módulo e da direção do vetor R = - 4 i + 10 j, é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor $ \mathbf{R} = -4,\mathbf{i} + 10,\mathbf{j} $. Nosso objetivo é descobrir quanto ele “aponta” (a direção) e quão grande ele é (o módulo). Para isso, vamos usar conceitos de vetores da matemática, especificamente como calcular o módulo e a direção de um vetor no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor. O módulo de um vetor $ \mathbf{R} = x,\mathbf{i} + y,\mathbf{j} $ é dado pela fórmula:
R = x,i + y,j
Aqui, $ x = -4 $ e $ y = 10 $. Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 3

Substituindo na fórmula:
|R| = raiz(-4)^2 + (10)^2 = raiz16 + 100 = raiz116
Agora, vamos calcular a raiz quadrada de 116.

Passo 4

Calculando a raiz quadrada:
raiz116 approx 10,77
Então, o módulo do vetor $ \mathbf{R} $ é aproximadamente 10,77 unidades.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a direção do vetor. A direção de um vetor é o ângulo que ele forma com o eixo positivo $ \mathbf{i} $ (eixo x). Para calcular isso, usamos a função tangente inversa:
i
Mas atenção! Como o $ x $ é negativo e o $ y $ é positivo, o vetor está no segundo quadrante. Vamos considerar isso no cálculo.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
theta = tan^-1(10-4) = tan^-1(-2,5)
A tangente inversa de -2,5 nos dá um ângulo negativo, mas queremos o ângulo no segundo quadrante.

Passo 7

Calculando a tangente inversa:
tan^-1(-2,5) approx -68,2^circ
Como o vetor está no segundo quadrante, adicionamos $ 180^\circ $ para encontrar o ângulo positivo correspondente.

Passo 8

Então:
theta = 180^circ - 68,2^circ = 111,8^circ
Portanto, a direção do vetor $ \mathbf{R} $ é aproximadamente 111,8 graus em relação ao eixo positivo $ \mathbf{i} $.

Resposta

O vetor $ \mathbf{R} = -4,\mathbf{i} + 10,\mathbf{j} $ tem módulo aproximadamente 10,77 unidades e direção de cerca de 111,8 graus em relação ao eixo positivo $ \mathbf{i} $.

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