(Valor: 2 pontos cada item ) Uma máquina produz hastes de metal usadas em um sistema de suspensão de automóvel. Uma amostra aleatória de 15 hastes é selecionada, e o diâmetro é medido. Os dados resultantes (em milímetros) são os seguintes:
Diâmetro (mm)
8.24 8.25 8.20 8.23 8.24
8.21 8.26 8.26 8.20 8.25
8.23 8.23 8.19 8.28 8.24
Responda justificando:
b) construa um intervalo de confiança de 99 % para a média populacional;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir um intervalo de confiança de 99% para a média populacional do diâmetro das hastes de metal produzidas por uma máquina. Isso está dentro do conteúdo de Estatística, mais especificamente em Inferência Estatística, onde usamos dados amostrais para tirar conclusões sobre a população. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da nossa amostra, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student porque nossa amostra é pequena (n = 15) e provavelmente não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Vamos somar todos os diâmetros fornecidos:
$ 8.24 + 8.25 + 8.20 + 8.23 + 8.24 + 8.21 + 8.26 + 8.26 + 8.20 + 8.25 + 8.23 + 8.23 + 8.19 + 8.28 + 8.24 $
Calculando essa soma, obtemos:
$ Soma total = 123.34 $
Agora, dividimos pela quantidade de hastes (15):
$ Média = \frac{123.34}{15} = 8.2227 , mm $
Então, a média da amostra é aproximadamente 8.2227 mm.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. O desvio padrão nos mostra o quanto os valores estão dispersos em relação à média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • $ x_i $ são os valores individuais da amostra,
  • $ \bar{x} $ é a média da amostra,
  • $ n $ é o número de observações.
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
xi
Somando todas essas diferenças ao quadrado e dividindo por $ n - 1 = 14 $, e então tirando a raiz quadrada, obtemos:
barx
Então, o desvio padrão da amostra é aproximadamente 0.031 mm.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um intervalo de confiança de 99% com $ n - 1 = 14 $ graus de liberdade. Isso significa que estamos procurando o valor de t que deixa 0.5% em cada extremidade da distribuição (já que 99% fica no meio).
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
n - 1 = 14
Então, o valor crítico t é aproximadamente 2.977.

Passo 5

Vamos calcular a margem de erro (ME) usando a fórmula:
ME = t times sraizn
Substituindo os valores que já temos:
ME = 2.977 times 0.031raiz15 approx 2.977 times 0.008 approx 0.0238 , mm
Então, a margem de erro é aproximadamente 0.0238 mm.

Passo 6

Agora, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
IC = barx pm ME = 8.2227 pm 0.0238
Isso nos dá:
8.2227 - 0.0238 = 8.1989 , mm
8.2227 + 0.0238 = 8.2465 , mm

Resposta

O intervalo de confiança de 99% para a média populacional do diâmetro das hastes é de 8.199 mm a 8.247 mm.

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