Uma variável aleatória
tem distribuição normal, com média
e variância
.
a) Qual é a probabilidade
?
Resposta:
a) Qual é a probabilidade
Resposta:
Passo 1
Neste exercício, temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 30 $ e variância $ \sigma^{2} = 100 $. Queremos encontrar a probabilidade $ P(25 < X < 35) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e padronização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os parâmetros da distribuição normal. A média $ \mu = 30 $ nos indica o centro da distribuição, e a variância $ \sigma^{2} = 100 $ nos diz o quanto os valores se dispersam em torno da média. O desvio padrão $ \sigma $ é a raiz quadrada da variância:
Passo 3
Para encontrar a probabilidade $ P(25 < X < 35) $, vamos padronizar os valores 25 e 35 usando a fórmula de padronização:
Isso transforma a variável $ X $ em uma variável $ Z $ que segue a distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1).
Passo 4
Vamos calcular os valores padronizados para 25 e 35:
Para $ X = 25 $:
Para $ X = 35 $:
Passo 5
Agora, queremos encontrar $ P(-0,5 < Z < 0,5) $. Para isso, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora que forneça valores de $ \Phi(Z) $, onde $ \Phi(Z) $ é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.
Passo 6
Consultando a tabela ou a calculadora:
Passo 7
A probabilidade entre -0,5 e 0,5 é a diferença entre esses dois valores:
Resposta
A probabilidade $ P(25 < X < 35) $ é $ 0,3830 $ ou $ 38,30% $.