Uma variável aleatória X tem distribuição normal, com média mu=30 e variância sigma^2=100.
a) Qual é a probabilidade P(25 ?
Resposta: 0,3830=38,30 %

Passo 1

Neste exercício, temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 30 $ e variância $ \sigma^{2} = 100 $. Queremos encontrar a probabilidade $ P(25 < X < 35) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e padronização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros da distribuição normal. A média $ \mu = 30 $ nos indica o centro da distribuição, e a variância $ \sigma^{2} = 100 $ nos diz o quanto os valores se dispersam em torno da média. O desvio padrão $ \sigma $ é a raiz quadrada da variância:
mu = 30

Passo 3

Para encontrar a probabilidade $ P(25 < X < 35) $, vamos padronizar os valores 25 e 35 usando a fórmula de padronização:
P(25 < X < 35)
Isso transforma a variável $ X $ em uma variável $ Z $ que segue a distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1).

Passo 4

Vamos calcular os valores padronizados para 25 e 35:
Para $ X = 25 $:
X = 25
Para $ X = 35 $:
Z1 = 25 - 3010 = -510 = -0,5

Passo 5

Agora, queremos encontrar $ P(-0,5 < Z < 0,5) $. Para isso, consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora que forneça valores de $ \Phi(Z) $, onde $ \Phi(Z) $ é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.

Passo 6

Consultando a tabela ou a calculadora:
Phi(0,5) approx 0,6915
Phi(-0,5) approx 0,3085

Passo 7

A probabilidade entre -0,5 e 0,5 é a diferença entre esses dois valores:
P(-0,5 < Z < 0,5) = Phi(0,5) - Phi(-0,5) = 0,6915 - 0,3085 = 0,3830

Resposta

A probabilidade $ P(25 < X < 35) $ é $ 0,3830 $ ou $ 38,30% $.

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