Em uma pesquisa para verificar a aceitação da implantação de um novo sistema de gestão, em uma empresa, foram feitas entrevistas com 250 funcionários. A empresa possui ao todo 7000 funcionários.
a) Podemos afirmar que a amostra considerada é representativa, adotando 95 % de grau de confiança e 5 % de erro amostral máximo desejado?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente quer saber se uma amostra de 250 funcionários, dentre uma população total de 7000, é representativa pra verificar a aceitação de um novo sistema de gestão. A gente vai usar um nível de confiança de 95% e quer que o erro amostral máximo seja de 5%. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre amostragem, nível de confiança e erro amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é nível de confiança. Um nível de confiança de 95% significa que, se a gente repetisse a pesquisa várias vezes, 95% das vezes os resultados estariam dentro do intervalo calculado. Isso nos dá uma margem de segurança sobre os resultados obtidos.

Passo 3

Agora, sobre o erro amostral. O erro amostral de 5% indica o quanto os resultados da amostra podem variar em relação à população total. Queremos que esse erro seja, no máximo, 5%, ou seja, que a diferença entre a amostra e a população não ultrapasse esse valor.

Passo 4

Vamos usar a fórmula do erro amostral para verificar se nossa amostra de 250 é adequada. A fórmula para o erro amostral (E) em percentagem é:
E = z times raiz(p times (1 - p))raizn times 100
Onde:
  • $ z $ é o valor correspondente ao nível de confiança (para 95%, $ z \approx 1,96 $)
  • $ p $ é a proporção estimada na população (quando não sabemos, usamos 0,5 para maximizar o erro)
  • $ n $ é o tamanho da amostra

Passo 5

Assumindo $ p = 0,5 $ (porque a gente não sabe qual a proporção real e isso maximiza o erro), vamos substituir os valores na fórmula:
p = 0,5
Primeiro, calcula a raiz quadrada dentro:
E = 1,96 times raiz(0,5 times 0,5)raiz250 times 100
Agora, substituindo:
raiz(0,5 times 0,5) = raiz0,25 = 0,5

Passo 6

O erro amostral calculado foi de aproximadamente 6,19%, que é maior do que o erro máximo desejado de 5%. Isso significa que a amostra de 250 funcionários não atende ao critério de representatividade estabelecido.

Resposta

Não, a amostra de 250 funcionários não é representativa para um nível de confiança de 95% com um erro amostral máximo de 5%.

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