A variável aleatória tem função de densidade expressa por
á
Determine:
a)

Passo 1

Vamos resolver uma questão de probabilidade envolvendo variáveis aleatórias contínuas. Temos uma função de densidade conjunta para as variáveis e definida por:
á
Queremos determinar a função de densidade condicional de dado que , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função de densidade condicional. A densidade condicional representa a densidade de quando sabemos que é maior que algum valor . Para encontrar isso, usamos a fórmula:
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos encontrar a função de densidade marginal de , ou seja, . Isso é feito integrando a densidade conjunta em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular . Sabemos que está entre 0 e , então:

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar , que é a probabilidade total de ser maior que 0,5. Isso é obtido integrando a densidade conjunta sobre a região onde :
Calculando a integral:

Passo 6

Agora, podemos substituir tudo na fórmula da densidade condicional:
Para .

Resposta

A função de densidade condicional é:

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a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
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Determine:
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