A variável aleatória (X tem função de densidade expressa por
f(x, y)=cc 2 / 3 & 1á
Determine:
a) f(x / y>0,5)

Passo 1

Vamos resolver uma questão de probabilidade envolvendo variáveis aleatórias contínuas. Temos uma função de densidade conjunta para as variáveis f(x, y) = 23 & se 1 < x < 2 e 0 < y < x 0 & caso contrário e definida por:
á
Queremos determinar a função de densidade condicional de dado que , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função de densidade condicional. A densidade condicional f(x mid Y > a) = fX(x) cdot P(Y > a mid X = x)P(Y > a) representa a densidade de quando sabemos que é maior que algum valor . Para encontrar isso, usamos a fórmula:
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos encontrar a função de densidade marginal de fX(x) = integral0^x 23 , dy = 23 cdot x para 1 < x < 2 , ou seja, . Isso é feito integrando a densidade conjunta em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular P(Y > 0,5 mid X = x) = x - 0,5x = 1 - 0,5x . Sabemos que está entre 0 e , então:

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar P(Y > 0,5) = integral1^2 integral0,5^x 23 , dy , dx = integral1^2 23(x - 0,5) , dx , que é a probabilidade total de P(Y > 0,5) = 23 [ x^22 - 0,5x ]1^2 = 23 ( (42 - 1) - (12 - 0,5) ) = 23 ( (2 - 1) - (0,5 - 0,5) ) = 23 cdot 1 = 23 ser maior que 0,5. Isso é obtido integrando a densidade conjunta sobre a região onde :
Calculando a integral:

Passo 6

Agora, podemos substituir tudo na fórmula da densidade condicional:
f(x mid Y > 0,5) = fX(x) cdot P(Y > 0,5 mid X = x)P(Y > 0,5) = 23x cdot (1 - 0,5x)23 = x (1 - 0,5x) = x - 0,5
Para .

Resposta

A função de densidade condicional f(x mid Y > 0,5) = x - 0,5 para 1 < x < 2 é:

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