A variável aleatória
tem função de densidade expressa por
Determine:
a)
a)
Passo 1
Vamos resolver uma questão de probabilidade envolvendo variáveis aleatórias contínuas. Temos uma função de densidade conjunta para as variáveis
e
definida por:
Queremos determinar a função de densidade condicional de
dado que
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função de densidade condicional. A densidade condicional
representa a densidade de
quando sabemos que
é maior que algum valor
. Para encontrar isso, usamos a fórmula:
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos encontrar a função de densidade marginal de
, ou seja,
. Isso é feito integrando a densidade conjunta
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
está entre 0 e
, então:
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar
, que é a probabilidade total de
ser maior que 0,5. Isso é obtido integrando a densidade conjunta sobre a região onde
:
Calculando a integral:
Passo 6
Agora, podemos substituir tudo na fórmula da densidade condicional:
Para
.
Resposta
A função de densidade condicional
é: