A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional (X, Y) é dada por:
P(x, y)=2n(n+1) x=1,2, ldots, n e y=1,2, ldots, x
Determine:
a) P(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias, e . Nosso objetivo aqui é determinar , que é a probabilidade marginal de . Para isso, vamos precisar somar as probabilidades conjuntas para todos os valores possíveis de dado um específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de probabilidade conjunta:
P(x, y) = 2n(n+1) para x = 1, 2, ldots, n e y = 1, 2, ldots, x
Isso significa que para cada valor de , pode assumir valores de 1 até .

Passo 3

Para encontrar P(X = x) = sumy=1^x P(x, y) , precisamos somar todas as probabilidades para cada possível dado . Assim:

Passo 4

Substituindo a expressão de P(X = x) = sumy=1^x 2n(n+1) na soma:
P(X = x) = x cdot 2n(n+1)
Como a fração é constante em relação a , podemos simplificar a soma multiplicando pela quantidade de termos, que é :

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
P(X = x) = 2xn(n+1)

Resposta

A probabilidade marginal de P(X = x) = 2xn(n+1) para x = 1, 2, ldots, n é:

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