O vazamento de um tanque de água provocou a perda de 2 litros de água no primeiro dia. Como o orifício responsável pela perda ia aumentando, no dia seguinte o vazamento foi o dobro do dia anterior. Se essa perda for dobrada a cada dia, qual é o número total de litros de água perdido até o 12° dia?
Passo 1
Vamos resumir a questão: temos um tanque que está vazando água. No primeiro dia, perde 2 litros. A cada dia seguinte, a perda de água dobra em relação ao dia anterior. Nosso objetivo é calcular o total de litros de água perdidos até o 12° dia.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de progressão geométrica, onde cada termo é multiplicado por uma razão constante em relação ao termo anterior. Além disso, vamos usar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica.
Passo 2
No primeiro dia, a perda de água é de 2 litros. Esse valor será o nosso primeiro termo da sequência, representado por $ a_1 = 2 $ litros.
Passo 3
Como a perda dobra a cada dia, a razão da progressão geométrica é $ r = 2 $. Isso significa que cada dia a quantidade de água perdida é o dobro do dia anterior.
Passo 4
Queremos calcular a soma dos 12 primeiros dias dessa sequência. A fórmula para a soma dos $ n $ primeiros termos de uma progressão geométrica é:
Onde:
- $ S_n $ é a soma dos $ n $ termos,
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ r $ é a razão,
- $ n $ é o número de termos.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Calculando $ 2^{12} $:
Então:
Resposta
O número total de litros de água perdido até o 12° dia é 8.190 litros.