Vc mede um espécime arqueológico e descobre que a proporção da contagem de carbono-14 é x% daquela vista em organismos vivos. De que modo essa informação permite que vc estabeleça a idade do artefato? 0 que vc precisaria saber ou consultar? Fundamente e contextualize.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre medir a quantidade de carbono-14 em um artefato arqueológico e descobrir que essa quantidade é x% da encontrada em organismos vivos. A matéria envolvida aqui é a Datação por Radiocarbono, que usa o decaimento do carbono-14 para determinar a idade de materiais orgânicos. Para resolver isso, vamos precisar entender como o carbono-14 decai ao longo do tempo e usar essa informação para calcular a idade do artefato.

Passo 2

Primeiro, o que é carbono-14? É um isótopo radioativo do carbono que é absorvido por seres vivos enquanto estão vivos. Quando o organismo morre, ele para de absorver carbono-14, e a quantidade desse isótopo começa a decair de forma previsível. Esse processo de decaimento é a base para estimar a idade de restos orgânicos.

Passo 3

Agora, como isso nos ajuda a determinar a idade? A quantidade de carbono-14 diminui ao longo do tempo seguindo uma função exponencial. A fórmula que descreve esse decaimento é:
N(t) = N0 times e^-lambda t
Onde:
  • $ N(t) $ é a quantidade de carbono-14 no tempo $ t $,
  • $ N_0 $ é a quantidade inicial de carbono-14,
  • $ \lambda $ é a constante de decaimento,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural.

Passo 4

Para usar essa fórmula, precisamos saber a meia-vida do carbono-14, que é o tempo que leva para metade da quantidade original de carbono-14 decair. A meia-vida do carbono-14 é aproximadamente 5.730 anos. Essa informação é essencial para calcular quanto tempo passou desde a morte do organismo.

Passo 5

Com a proporção x% do carbono-14 encontrada no artefato, podemos rearranjar a fórmula do decaimento para resolver $ t $:
t
Sabendo que a meia-vida $ t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} $, podemos substituir e simplificar para:
t = ln(N(t)N0)-lambda
Isso nos permite calcular a idade do artefato com base na porcentagem de carbono-14 restante.

Resposta

A partir da proporção x% de carbono-14 encontrada no artefato e conhecendo a meia-vida do carbono-14 (5.730 anos), utilizamos a equação do decaimento radioativo para calcular que a idade do artefato é aproximadamente:
t = 5.730 times ln(100x)ln 2
Então, substituindo o valor de x, você consegue determinar quantos anos se passaram desde a morte do organismo que originou o artefato.

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