Um veículo percorre, com velocidade constante, uma estrada retilínea. Em uma de suas rodas, com 50 cm de diâmetro, prende-se um chiclete. No instante t = 0 em que ocorre o primeiro contato do chiclete com a roda, a altura h do chiclete em relação ao nível da estrada é igual a 0. À medida que a roda gira, a altura h do chiclete em relação ao nível da estrada, em centímetros, varia periodicamente em função do tempo t decorrido após o primeiro contato do chiclete com a roda, em segundos. Sabendo-se que a roda dá uma volta completa a cada 0,5 segundo, qual das seguintes funções melhor descreve a altura h em função de t?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um carro que tá andando numa estrada reta com velocidade constante. Em uma das rodas, que tem 50 cm de diâmetro, tem um chiclete preso. Quando o chiclete toca o chão pela primeira vez, a altura dele em relação ao chão é 0 cm. Conforme a roda gira, a altura do chiclete varia de forma periódica com o tempo. A roda completa uma volta a cada 0,5 segundo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das funções apresentadas melhor descreve essa altura $ h $ em função do tempo $ t $.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas, especialmente seno e cosseno, que são ótimas para modelar movimentos periódicos como o de uma roda girando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as propriedades da roda. O diâmetro da roda é 50 cm, então o raio $ r $ é metade disso:
Esse raio será a amplitude da nossa função trigonométrica, que representa a máxima altura que o chiclete alcança em relação ao chão.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o período da função, que é o tempo que leva para completar uma oscilação completa. A roda dá uma volta completa a cada 0,5 segundo, então o período $ T $ é 0,5 s.
A frequência angular $ \omega $ está relacionada ao período pela fórmula:
Substituindo $ T = 0,5 $ s:
Passo 4
A altura $ h $ do chiclete em relação ao chão pode ser modelada por uma função seno ou cosseno. Sabemos que, no instante $ t = 0 $, a altura é 0 e o chiclete está começando a subir. A função seno começa no ponto 0 e sobe, então ela é a escolha adequada aqui.
A forma geral da função seno para esse contexto é:
Onde:
- $ A $ é a amplitude (neste caso, 25 cm)
- $ \omega $ é a frequência angular (4π rad/s)
- $ \phi $ é a fase inicial (como começamos no ponto 0, $ \phi = 0 $)
Passo 5
Substituindo os valores na equação:
Essa função descreve a altura do chiclete em função do tempo. A cada 0,5 segundo, a função completa um ciclo, correspondendo a uma volta completa da roda.
Resposta
A função que melhor descreve a altura $ h $ em função do tempo $ t $ é: