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com que a velocidade deve ser lançada uma bola verticalmente a partir do solo para que atinja uma altura máxima de 50m e por quanto tempo permanece no ar
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir com que velocidade a bola deve ser lançada para alcançar uma altura máxima de 50 metros e quanto tempo ela fica no ar. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos objetos. Precisaremos das fórmulas que relacionam velocidade, aceleração, tempo e deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a velocidade inicial está relacionada à altura máxima. Quando a bola atinge a altura máxima, a velocidade dela é zero porque ela para momentaneamente antes de começar a cair. A fórmula que relaciona a velocidade inicial ( v0), a aceleração da gravidade ( g) e a altura máxima ( h) é:
v^2 = v0^2 - 2gh
Como a velocidade na altura máxima é zero ( v = 0), podemos rearranjar a fórmula para encontrar a velocidade inicial:
0 = v0^2 - 2gh v0^2 = 2gh v0 = raiz2gh

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade inicial usando g = 9,8 , m/s^2 e h = 50 , m:
v0 = raiz2 times 9,8 times 50 v0 = raiz2 times 9,8 times 50 v0 = raiz980 v0 approx 31,3 , m/s
Então, a velocidade inicial necessária é de aproximadamente 31,3 metros por segundo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo que a bola fica no ar. Esse tempo é o total de tempo que a bola leva para subir até a altura máxima e depois descer de volta ao solo. Primeiro, vamos encontrar o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima.
Usamos a fórmula que relaciona a velocidade inicial, a aceleração e o tempo:
v = v0 - >
Na altura máxima, v = 0, então:
0 = v0 - > > = v0 t = v0g
Esse é o tempo para subir. Como a descida leva o mesmo tempo, o tempo total no ar ( T) será o dobro desse valor:
T = 2t = 2 times v0g

Passo 5

Vamos calcular o tempo usando v0 approx 31,3 , m/s e g = 9,8 , m/s^2:
T = 2 times 31,39,8 T = 2 times 3,19 T approx 6,38 , segundos
Então, a bola permanece no ar por aproximadamente 6,38 segundos.

Resposta

A bola deve ser lançada com uma velocidade inicial de aproximadamente 31,3 m/s e permanecerá no ar por cerca de 6,38 segundos.

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