Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
b) O conjunto
é uma base para
.
b) O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se um conjunto de cinco matrizes 2x2 forma uma base para
, que é o espaço de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, a gente precisa lembrar que uma base deve ter vetores (nesse caso, matrizes) que sejam linearmente independentes e que “preencham” todo o espaço. Vamos precisar saber a dimensão desse espaço e verificar se nosso conjunto atende a esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a dimensão de
. Cada matriz 2x2 tem 4 entradas, então o espaço
tem dimensão 4. Isso significa que qualquer base desse espaço deve ter exatamente 4 matrizes que são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos ver quantas matrizes temos no conjunto dado. São cinco matrizes:
Como temos cinco matrizes, que é mais do que a dimensão do espaço (4), automaticamente sabemos que essas matrizes não podem ser todas linearmente independentes. Isso porque, em um espaço de dimensão 4, qualquer conjunto com mais de 4 vetores (ou matrizes) é necessariamente linearmente dependente.
Passo 4
Como o conjunto tem mais matrizes do que a dimensão de
, ele é linearmente dependente. Isso quer dizer que pelo menos uma das matrizes pode ser escrita como combinação linear das outras. Portanto, esse conjunto não satisfaz a condição de ser uma base, que exige que todas as matrizes sejam linearmente independentes.
Resposta
Falso. O conjunto possui cinco matrizes, mas
tem dimensão quatro, o que torna o conjunto linearmente dependente e, portanto, não uma base.
Exercícios relacionados
Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem. Simplifique as expressões:
Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a) , em que
e
.
a)
Obtenha as equações das elipses cujos focos e medidas do semieixo maior são dados:
Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
d) , em que
e
.
d)