Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
b) O conjunto (ll1 & 1 2 & 3),(cc6 & 0 -1 & 4),(ll3 & 0 1 & 7),(ll5 & 1 4 & 2),(ll7 & 1 2 & 9) é uma base para M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se um conjunto de cinco matrizes 2x2 forma uma base para , que é o espaço de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, a gente precisa lembrar que uma base deve ter vetores (nesse caso, matrizes) que sejam linearmente independentes e que “preencham” todo o espaço. Vamos precisar saber a dimensão desse espaço e verificar se nosso conjunto atende a esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a dimensão de . Cada matriz 2x2 tem 4 entradas, então o espaço tem dimensão 4. Isso significa que qualquer base desse espaço deve ter exatamente 4 matrizes que são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos ver quantas matrizes temos no conjunto dado. São cinco matrizes:
1 & 1 2 & 3, 6 & 0 -1 & 4, 3 & 0 1 & 7, 5 & 1 4 & 2, 7 & 1 2 & 9
Como temos cinco matrizes, que é mais do que a dimensão do espaço (4), automaticamente sabemos que essas matrizes não podem ser todas linearmente independentes. Isso porque, em um espaço de dimensão 4, qualquer conjunto com mais de 4 vetores (ou matrizes) é necessariamente linearmente dependente.

Passo 4

Como o conjunto tem mais matrizes do que a dimensão de , ele é linearmente dependente. Isso quer dizer que pelo menos uma das matrizes pode ser escrita como combinação linear das outras. Portanto, esse conjunto não satisfaz a condição de ser uma base, que exige que todas as matrizes sejam linearmente independentes.

Resposta

Falso. O conjunto possui cinco matrizes, mas tem dimensão quatro, o que torna o conjunto linearmente dependente e, portanto, não uma base.

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Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Simplifique as expressões:
Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a) R^2=>=r(v1, v2, v3), em que v1=(2,4), v2=(20,40) e v3=(3,6).
Obtenha as equações das elipses cujos focos e medidas do semieixo maior são dados: (-3,2),(-3,6), a=4
Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
d) R^3=>=r(v1, v2, v3), em que v1=(-1,0,2), v2=(1,1,1) e v3=(-3,-2,0).