Obtenha as equações das elipses cujos focos e medidas do semieixo maior são dados: (-3,2),(-3,6), a=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para encontrar as equações de elipses que têm dois focos específicos, que são (-3,2) e (-3,6), e que têm o semieixo maior igual a a = 4. Isso envolve conhecimentos sobre as propriedades das elipses, como a localização dos focos, o comprimento dos eixos e como tudo isso se relaciona na equação da elipse. Vamos precisar entender um pouco sobre a definição de elipse e como determinar sua equação a partir dessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar esse ponto médio, a gente calcula a média das coordenadas x e das coordenadas y dos focos.
Temos os focos em F1(-3,2) e F2(-3,6). A média das coordenadas x é (-3 + (-3))/2 = -3, e a média das coordenadas y é (2 + 6)/2 = 4. Então, o centro da elipse está em (-3,4).

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos. Essa distância é igual a 2c, onde c é a distância do centro até cada um dos focos. Como os focos têm a mesma coordenada x, a distância entre eles é apenas a diferença nas coordenadas y.
A diferença é 6 - 2 = 4, então 2c = 4, o que significa que c = 2.

Passo 4

Sabemos que em uma elipse, a relação entre o semieixo maior a, o semieixo menor b e c é dada pela fórmula:
a^2 = b^2 + c^2
Como já temos a = 4 e c = 2, podemos encontrar b.
Substituindo os valores:
4^2 = b^2 + 2^2 16 = b^2 + 4 b^2 = 16 - 4 b^2 = 12 b = raiz12 = 2raiz3

Passo 5

Agora, precisamos determinar a orientação da elipse, ou seja, se o eixo maior está na vertical ou na horizontal. Observando os focos, que estão alinhados verticalmente (mesma coordenada x), percebemos que o eixo maior também está na vertical.
Isso significa que a equação da elipse terá a forma:
(y - k)^2a^2 + (x - h)^2b^2 = 1
Onde (h,k) é o centro da elipse.

Passo 6

Vamos substituir os valores que já encontramos na equação. Temos:
  • Centro (h,k) = (-3,4)
  • a = 4
  • b = 2raiz3
Substituindo na fórmula:
(y - 4)^24^2 + (x + 3)^2(2raiz3)^2 = 1 (y - 4)^216 + (x + 3)^212 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(y - 4)^216 + (x + 3)^212 = 1

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