Obtenha as equações das elipses cujos focos e medidas do semieixo maior são dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para encontrar as equações de elipses que têm dois focos específicos, que são
e
, e que têm o semieixo maior igual a
. Isso envolve conhecimentos sobre as propriedades das elipses, como a localização dos focos, o comprimento dos eixos e como tudo isso se relaciona na equação da elipse. Vamos precisar entender um pouco sobre a definição de elipse e como determinar sua equação a partir dessas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar esse ponto médio, a gente calcula a média das coordenadas x e das coordenadas y dos focos.
Temos os focos em
e
. A média das coordenadas x é
, e a média das coordenadas y é
. Então, o centro da elipse está em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos. Essa distância é igual a
, onde
é a distância do centro até cada um dos focos. Como os focos têm a mesma coordenada x, a distância entre eles é apenas a diferença nas coordenadas y.
A diferença é
, então
, o que significa que
.
Passo 4
Sabemos que em uma elipse, a relação entre o semieixo maior
, o semieixo menor
e
é dada pela fórmula:
Como já temos
e
, podemos encontrar
.
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, precisamos determinar a orientação da elipse, ou seja, se o eixo maior está na vertical ou na horizontal. Observando os focos, que estão alinhados verticalmente (mesma coordenada x), percebemos que o eixo maior também está na vertical.
Isso significa que a equação da elipse terá a forma:
Onde
é o centro da elipse.
Passo 6
Vamos substituir os valores que já encontramos na equação. Temos:
- Centro
-
-
Substituindo na fórmula:
Resposta
A equação da elipse é:
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b) O conjunto é uma base para
.
b) O conjunto
Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem. Simplifique as expressões:
Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
d) , em que
e
.
d)
Encontre os valores de a
para os quais a transformação linear
:
dada por
é invertível (isto é, uma bijeção).