Verificar que cada uma das funções dadas y = f(x) é uma solução da equação diferencial dada. d y/d x + y + 2 x + 4 = x^2, y = x^2 - 4 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para verificar se a função é uma solução da equação diferencial . Basicamente, você vai precisar calcular a derivada de em relação a e substituir na equação para ver se tudo confere. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . A derivada nos mostra como a função muda à medida que muda. A função que temos é .
Para derivar , usamos as regras básicas de derivação:
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante vezes é apenas a constante.
Aplicando isso:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos substituir tanto quanto na equação diferencial original para verificar se a igualdade é verdadeira.
A equação original é:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão do lado esquerdo:
Agrupando os termos semelhantes:

Resposta

Depois de substituir e simplificar, temos que:
Ou seja, a igualdade é verdadeira. Portanto, a função é realmente uma solução da equação diferencial dada.

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