Verifique que cada função dada,
e/ou
, é uma solução da equação diferencial associada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é uma solução da equação diferencial
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente derivadas e integrais. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para verificar se
é solução da equação diferencial, precisamos calcular a derivada de
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos derivar
. Para isso, usamos a regra do produto na primeira parte e a regra da cadeia na segunda parte.
Passo 4
Derivando a primeira parte:
Aqui, usamos a regra de Leibniz para derivar a integral com limite variável.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Então, a derivada da primeira parte fica:
Passo 6
Derivando a segunda parte de
:
Passo 7
Agora, juntando as duas derivadas:
Passo 8
Vamos substituir
e
na equação diferencial
:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Os termos com
e
se cancelam.
Resposta
Depois de simplificar, temos que
. Portanto, a função
é de fato uma solução da equação diferencial dada.
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