Verifique que cada função dada, y1(t) e/ou y2(t), é uma solução da equação diferencial associada. y^prime-2 t y=1
y1(t)=e^t^2 integral0^t e^-s^2 d s+e^t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é uma solução da equação diferencial . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente derivadas e integrais. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para verificar se é solução da equação diferencial, precisamos calcular a derivada de , ou seja, .

Passo 3

Vamos derivar . Para isso, usamos a regra do produto na primeira parte e a regra da cadeia na segunda parte.

Passo 4

Derivando a primeira parte:
ddt ( e^t^2 integral0^t e^-s^2 ds ) = e^t^2 cdot e^-t^2 + integral0^t e^-s^2 ds cdot 2t e^t^2
Aqui, usamos a regra de Leibniz para derivar a integral com limite variável.

Passo 5

Simplificando a expressão:
e^t^2 cdot e^-t^2 = 1
Então, a derivada da primeira parte fica:
1 + 2t e^t^2 integral0^t e^-s^2 ds

Passo 6

Derivando a segunda parte de ddt ( e^t^2 ) = 2t e^t^2 :

Passo 7

Agora, juntando as duas derivadas:
y1'(t) = 1 + 2t e^t^2 integral0^t e^-s^2 ds + 2t e^t^2

Passo 8

Vamos substituir y1'(t) - 2t y1(t) = (1 + 2t e^t^2 integral0^t e^-s^2 ds + 2t e^t^2) - 2t ( e^t^2 integral0^t e^-s^2 ds + e^t^2 ) e na equação diferencial :

Passo 9

Simplificando a expressão:
1 + 2t e^t^2 integral0^t e^-s^2 ds + 2t e^t^2 - 2t e^t^2 integral0^t e^-s^2 ds - 2t e^t^2 = 1
Os termos com e se cancelam.

Resposta

Depois de simplificar, temos que . Portanto, a função é de fato uma solução da equação diferencial dada.

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