Verifique que cada função dada, e/ou , é uma solução da equação diferencial associada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é uma solução da equação diferencial . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente derivadas e integrais. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para verificar se é solução da equação diferencial, precisamos calcular a derivada de , ou seja, .

Passo 3

Vamos derivar . Para isso, usamos a regra do produto na primeira parte e a regra da cadeia na segunda parte.

Passo 4

Derivando a primeira parte:
Aqui, usamos a regra de Leibniz para derivar a integral com limite variável.

Passo 5

Simplificando a expressão:
Então, a derivada da primeira parte fica:

Passo 6

Derivando a segunda parte de :

Passo 7

Agora, juntando as duas derivadas:

Passo 8

Vamos substituir e na equação diferencial :

Passo 9

Simplificando a expressão:
Os termos com e se cancelam.

Resposta

Depois de simplificar, temos que . Portanto, a função é de fato uma solução da equação diferencial dada.

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