Verifique se cada uma das séries é absolutamente convergente, é condicionalmente convergente ou divergente (justifique sua resposta): sumn=3^+infty cos (n pi)ln (n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o teste da convergência absoluta e o teste da série alternada. Então, o que precisamos entender são conceitos de séries alternadas e como aplicar esses testes.

Passo 2

Primeiro passo é verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos olhar para os valores absolutos dos termos da série original. Então, a gente considera a série:
sumn=3^+infty |cos(n pi)ln(n)| = sumn=3^+infty 1ln(n)

Passo 3

Agora, precisamos ver se essa nova série integral3^+infty 1ln(x) , dx converge. Para isso, uma boa ferramenta é o Teste da Integral. Vamos analisar a integral:
Sabemos que a função decresce bem devagar e a integral dessa função diverge, ou seja, não chega a um valor finito. Isso quer dizer que a série dos valores absolutos também diverge.

Passo 4

Já que a s��rie dos valores absolutos divergiu, concluímos que a série original não é absolutamente convergente. Mas isso não é o fim da história! Agora precisamos verificar se a série é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 5

Vamos observar os termos da série original sumn=3^+infty (-1)^nln(n) . Sabemos que limn to infty 1ln(n) = 0 , então a série fica assim:
Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos checar duas coisas:
  1. Os termos são positivos e decrescentes.
  2. O limite desses termos, quando vai para o infinito, é zero.
Claramente, é positivo e decresce à medida que aumenta. Além disso,
Como os dois critérios são atendidos, o teste confirma que a série converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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