Passo 1
Vamos resolver o limite
. Neste exercício, vamos trabalhar com limites e funções logarítmicas. Para resolver, precisaremos aplicar as propriedades dos logaritmos e entender como calcular limites que têm a forma indeterminada
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador usando as propriedades dos logaritmos. Sabemos que
. Aplicando isso:
Então, substituindo na expressão original:
Isso nos mostra que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando
se aproxima de 1, resultando na forma indeterminada
.
Passo 3
Quando temos uma forma indeterminada
, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Primeiro, vamos calcular a derivada do numerador:
Mas isso não nos ajuda, então vamos reavaliar nossa abordagem.
Passo 4
Vamos tentar simplificar novamente o numerador. Sabemos que:
Então, para evitar a forma indeterminada, vamos expandir o logaritmo usando uma aproximação para
próximo a 1. Sabemos que, quando
está perto de 1, podemos usar a expansão de Taylor para
:
Passo 5
Aplicando a aproximação de Taylor no numerador:
Subtraindo
:
Ainda temos a forma indeterminada, então vamos considerar derivadas usando L’Hôpital corretamente.
Passo 6
Retornando à Regra de L’Hôpital, vamos calcular as derivadas corretamente.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, aplicando L’Hôpital:
Resposta
O limite solicitado é
.