lim x 1 ln (x^2)-2 ln (x)x-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Neste exercício, vamos trabalhar com limites e funções logarítmicas. Para resolver, precisaremos aplicar as propriedades dos logaritmos e entender como calcular limites que têm a forma indeterminada .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador usando as propriedades dos logaritmos. Sabemos que ln(x^2) = 2ln(x) . Aplicando isso:
ln(x^2) - 2ln(x) = 2ln(x) - 2ln(x) = 0
Então, substituindo na expressão original:
Isso nos mostra que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando se aproxima de 1, resultando na forma indeterminada .

Passo 3

Quando temos uma forma indeterminada ddx [ln(x^2) - 2ln(x)] = ddx [2ln(x) - 2ln(x)] = 0 , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Primeiro, vamos calcular a derivada do numerador:
Mas isso não nos ajuda, então vamos reavaliar nossa abordagem.

Passo 4

Vamos tentar simplificar novamente o numerador. Sabemos que:
ln(x^2) - 2ln(x) = ln(x^2x^2) = ln(1) = 0
Então, para evitar a forma indeterminada, vamos expandir o logaritmo usando uma aproximação para ln(x) approx (x - 1) - (x - 1)^22 próximo a 1. Sabemos que, quando está perto de 1, podemos usar a expansão de Taylor para :

Passo 5

Aplicando a aproximação de Taylor no numerador:
ln(x^2) = 2ln(x) approx 2[(x - 1) - (x - 1)^22] = 2(x - 1) - (x - 1)^2
Subtraindo ln(x^2) - 2ln(x) approx [2(x - 1) - (x - 1)^2] - 2[(x - 1) - (x - 1)^22] = - (x - 1)^2 + (x - 1)^2 = 0 :
Ainda temos a forma indeterminada, então vamos considerar derivadas usando L’Hôpital corretamente.

Passo 6

Retornando à Regra de L’Hôpital, vamos calcular as derivadas corretamente.
Derivada do numerador:
ddx [ln(x^2) - 2ln(x)] = 2x - 2x = 0
Derivada do denominador:
ddx [x - 1] = 1
Então, aplicando L’Hôpital:
limx 1 01 = 0

Resposta

O limite solicitado é .

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