Vamos resolver o exercício que pede para verificar se é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) e calcular (esperança), (variância) e (função de distribuição acumulada). A função dada é:
Para resolver, vamos seguir os passos necessários para verificar se é uma f.d.p e, em seguida, calcular os valores solicitados.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se é uma função de densidade de probabilidade. Para isso, duas condições devem ser atendidas:
para todo .
A integral de sobre todo o espaço amostral é igual a 1.
Vamos verificar essas condições.
Passo 3
Observamos que para . Como é sempre positivo nesse intervalo, e o coeficiente também é positivo, temos que para todo .
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de de 0 a 2 e verificar se é igual a 1:
Calculando as integrais:
110(4 + 6) = 110(10) = 1
Somando:
Como a integral é igual a 1, satisfaz as condições para ser uma f.d.p.
Passo 5
Agora, vamos calcular a esperança E(X) = integral-infty^infty x f(x) , dx . A fórmula para a esperança em função da densidade é:
No nosso caso, como integral0^2 2x^2 , dx = 23x^3 |0^2 = 23(8) - 0 = 163 é zero fora de integral0^2 3x , dx = 32x^2 |0^2 = 32(4) - 0 = 6 , a integral fica de 0 a 2:
Como F(x) = 1 para F(x) = 0 & , se x <= 0 110(x^2 + 3x) & , se 0 < x <= 2 1 & , se x > 2 e , temos:
Para :
Para :
Para :
Portanto, a função de distribuição acumulada é:
Resposta
F(x) = 0 & , se x <= 0 110(x^2 + 3x) & , se 0 < x <= 2 1 & , se x > 2 é uma função de densidade de probabilidade. A esperança é aproximadamente , a variância é aproximadamente e a função de distribuição acumulada é dada por: