Verifique se f(x) é uma f.d.p e calcule E(X), D P(X) e F(x) : f(x)=cl1 / 10(2 x+3) & , x in(0,2] 0 & , cc

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se f(x) = 110(2x + 3) & , se x in (0, 2] 0 & , caso contrário é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) e calcular (esperança), (variância) e (função de distribuição acumulada). A função dada é:
á
Para resolver, vamos seguir os passos necessários para verificar se é uma f.d.p e, em seguida, calcular os valores solicitados.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se é uma função de densidade de probabilidade. Para isso, duas condições devem ser atendidas:
  1. para todo .
  2. A integral de sobre todo o espaço amostral é igual a 1.
Vamos verificar essas condições.

Passo 3

Observamos que para . Como é sempre positivo nesse intervalo, e o coeficiente também é positivo, temos que para todo .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de integral0^2 110(2x + 3) , dx = 110 [ integral0^2 2x , dx + integral0^2 3 , dx ] de 0 a 2 e verificar se é igual a 1:
integral0^2 2x , dx = x^2 |0^2 = 4 - 0 = 4
Calculando as integrais:
integral0^2 3 , dx = 3x |0^2 = 6 - 0 = 6
110(4 + 6) = 110(10) = 1
Somando:
Como a integral é igual a 1, satisfaz as condições para ser uma f.d.p.

Passo 5

Agora, vamos calcular a esperança E(X) = integral-infty^infty x f(x) , dx . A fórmula para a esperança em função da densidade é:
E(X) = integral0^2 x cdot 110(2x + 3) , dx = 110 integral0^2 (2x^2 + 3x) , dx
No nosso caso, como integral0^2 2x^2 , dx = 23x^3 |0^2 = 23(8) - 0 = 163 é zero fora de integral0^2 3x , dx = 32x^2 |0^2 = 32(4) - 0 = 6 , a integral fica de 0 a 2:
E(X) = 110( 163 + 6 ) = 110( 163 + 183 ) = 110 cdot 343 = 3430 = 1715 approx 1,1333
Calculando as integrais:
Somando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a variância E(X^2) = integral0^2 x^2 cdot 110(2x + 3) , dx = 110 integral0^2 (2x^3 + 3x^2) , dx . Primeiro, precisamos encontrar integral0^2 2x^3 , dx = 24x^4 |0^2 = 12(16) - 0 = 8 :
integral0^2 3x^2 , dx = x^3 |0^2 = 8 - 0 = 8
Calculando as integrais:
E(X^2) = 110(8 + 8) = 1610 = 1,6
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1,6 - (1715)^2 = 1,6 - 289225 approx 1,6 - 1,2844 = 0,3156
Somando:
Agora, usando a fórmula da variância:

Passo 7

Por fim, vamos determinar a função de distribuição acumulada F(x) = integral-infty^x f(t) , dt . A função F(x) = 0 é definida como:
F(x) = integral0^x 110(2t + 3) , dt = 110 ( integral0^x 2t , dt + integral0^x 3 , dt ) = 110 ( t^2 |0^x + 3t |0^x ) = 110(x^2 + 3x)
Como F(x) = 1 para F(x) = 0 & , se x <= 0 110(x^2 + 3x) & , se 0 < x <= 2 1 & , se x > 2 e , temos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Portanto, a função de distribuição acumulada é:

Resposta

F(x) = 0 & , se x <= 0 110(x^2 + 3x) & , se 0 < x <= 2 1 & , se x > 2 é uma função de densidade de probabilidade. A esperança é aproximadamente , a variância é aproximadamente e a função de distribuição acumulada é dada por:

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