Vamos resolver o exercício que pede para verificar se é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) e calcular (esperança), (variância) e (função de distribuição acumulada). A função dada é:
Para resolver, vamos seguir os passos necessários para verificar se é uma f.d.p e, em seguida, calcular os valores solicitados.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se é uma função de densidade de probabilidade. Para isso, duas condições devem ser atendidas:
para todo .
A integral de sobre todo o espaço amostral é igual a 1.
Vamos verificar essas condições.
Passo 3
Observamos que para . Como é sempre positivo nesse intervalo, e o coeficiente também é positivo, temos que para todo .
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de de 0 a 2 e verificar se é igual a 1:
Calculando as integrais:
Somando:
Como a integral é igual a 1, satisfaz as condições para ser uma f.d.p.
Passo 5
Agora, vamos calcular a esperança . A fórmula para a esperança em função da densidade é:
No nosso caso, como é zero fora de , a integral fica de 0 a 2:
Calculando as integrais:
Somando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a variância . Primeiro, precisamos encontrar :
Calculando as integrais:
Somando:
Agora, usando a fórmula da variância:
Passo 7
Por fim, vamos determinar a função de distribuição acumulada . A função é definida como:
Como para e , temos:
Para :
Para :
Para :
Portanto, a função de distribuição acumulada é:
Resposta
é uma função de densidade de probabilidade. A esperança é aproximadamente , a variância é aproximadamente e a função de distribuição acumulada é dada por: