O volume de vendas de uma empresa é representada por uma v.a. cuja densidade é:
b) A função de distribuição acumulada (f.d.a) de X .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte b) do exercício que você me mandou. O enunciado fala sobre a função de distribuição acumulada (f.d.a) de uma variável aleatória X, cujo volume de vendas é representado pela densidade:
f(x) = ll x & , 0 < x <= 1 c & , 1 < x <= 2 0 & , caso contrário á
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função de distribuição acumulada e como calculá-la a partir da densidade. A f.d.a, denotada por , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória X seja menor ou igual a um certo valor x. Basicamente, é a soma das probabilidades até o ponto x.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de densidade integral0^1 x , dx + integral1^2 c , dx = 1 está corretamente definida. Isso significa que a integral de [ x^22 ]0^1 + [ c x ]1^2 = 12 + c(2 - 1) = 12 + c = 1 em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, vamos encontrar o valor de 12 + c = 1 implies c = 12 .
Integrando de 0 a 1 e de 1 a 2:
Calculando as integrais:
Então, temos:
Isso nos dá a constante .
Passo 3
Agora que sabemos que F(x) = integral0^x t , dt = [ t^22 ]0^x = x^22 , podemos construir a função de distribuição acumulada F(1) = 1^22 = 12 . Vamos analisar diferentes intervalos de F(x) = F(1) + integral1^x 12 , dt = 12 + 12(x - 1) = 12 + x2 - 12 = x2 :
Para : Não há probabilidade acumulada antes de 0, então .
Para : Aqui, a densidade é . A f.d.a será a integral de de 0 até :
Para : Neste intervalo, a densidade é constante . A f.d.a será a soma da probabilidade acumulada até 1 mais a integral de de 1 até :
Primeiro, calculamos :
Agora, para :
Para : Toda a probabilidade já foi acumulada, então .
Resposta
A função de distribuição acumulada F(x) = ll 0 & , x < 0 x^22 & , 0 <= x <= 1 x2 & , 1 < x <= 2 1 & , x > 2 de X é dada por: