O volume de vendas de uma empresa é representada por uma v.a. cuja densidade é:
b) A função de distribuição acumulada (f.d.a) de X .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte b) do exercício que você me mandou. O enunciado fala sobre a função de distribuição acumulada (f.d.a) de uma variável aleatória X, cujo volume de vendas é representado pela densidade:
á
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função de distribuição acumulada e como calculá-la a partir da densidade. A f.d.a, denotada por , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória X seja menor ou igual a um certo valor x. Basicamente, é a soma das probabilidades até o ponto x.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de densidade está corretamente definida. Isso significa que a integral de em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, vamos encontrar o valor de .
Integrando de 0 a 1 e de 1 a 2:
Calculando as integrais:
Então, temos:
Isso nos dá a constante .
Passo 3
Agora que sabemos que , podemos construir a função de distribuição acumulada . Vamos analisar diferentes intervalos de :
Para : Não há probabilidade acumulada antes de 0, então .
Para : Aqui, a densidade é . A f.d.a será a integral de de 0 até :
Para : Neste intervalo, a densidade é constante . A f.d.a será a soma da probabilidade acumulada até 1 mais a integral de de 1 até :
Primeiro, calculamos :
Agora, para :
Para : Toda a probabilidade já foi acumulada, então .
Resposta
A função de distribuição acumulada de X é dada por: