O vetor posição de uma partícula de massa 3,00 kg é dada pela função do tempo r(t)=4,0 t^2 i+(2,0 t+6,0 t^2) j em um plano x y, com r dado em metros e t em segundos. Em relação à origem, encontre o torque ao qual a partícula está submetida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física que trata de torque em uma partícula. A partícula tem uma massa de 3,00 kg e sua posição no plano xy é dada pela função r(t) = 4,0 t^2 i + (2,0 t + 6,0 t^2) j, onde r está em metros e t em segundos. A gente precisa descobrir qual é o torque que essa partícula sofre em relação à origem. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, derivadas para encontrar velocidade e aceleração, e a fórmula do torque.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Derivando cada componente:
ddt(4,0 t^2) = 8,0 t
ddt(2,0 t + 6,0 t^2) = 2,0 + 12,0 t
Então, a velocidade é:
v(t) = 8,0 t i + (2,0 + 12,0 t) j

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Derivando cada componente:
ddt(8,0 t) = 8,0
ddt(2,0 + 12,0 t) = 12,0
Então, a aceleração é:
a(t) = 8,0 i + 12,0 j , m/s^2

Passo 4

Com a aceleração, podemos calcular a força que atua na partícula usando a segunda lei de Newton:
F = m a
Substituindo os valores:
F = 3,00 , kg times (8,0 i + 12,0 j) = 24,0 i + 36,0 j , N

Passo 5

Agora, vamos calcular o torque ( tau) em relação à origem. O torque é dado pelo produto vetorial entre a posição e a força:
tau = r times F
Vamos usar as componentes das duas vetores:
r = 4,0 t^2 i + (2,0 t + 6,0 t^2) j
F = 24,0 i + 36,0 j
O produto vetorial no plano xy resulta em uma componente na direção k:
tauz = (4,0 t^2)(36,0) - (2,0 t + 6,0 t^2)(24,0)
Simplificando:
tauz = 144,0 t^2 - (48,0 t + 144,0 t^2) = -48,0 t
Então, o torque é:
tau = -48,0 t , k , N·m

Resposta

O torque ao qual a partícula está submetida em relação à origem é tau = -48,0 t , k , N·m.

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