O vetor posição de uma partícula de massa
é dada pela função do tempo
em um plano
, com
dado em metros e
em segundos. Em relação à origem, encontre o torque ao qual a partícula está submetida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física que trata de torque em uma partícula. A partícula tem uma massa de 3,00 kg e sua posição no plano xy é dada pela função
, onde
está em metros e
em segundos. A gente precisa descobrir qual é o torque que essa partícula sofre em relação à origem. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, derivadas para encontrar velocidade e aceleração, e a fórmula do torque.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Derivando cada componente:
Então, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente:
Então, a aceleração é:
Passo 4
Com a aceleração, podemos calcular a força que atua na partícula usando a segunda lei de Newton:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o torque (
) em relação à origem. O torque é dado pelo produto vetorial entre a posição e a força:
Vamos usar as componentes das duas vetores:
O produto vetorial no plano xy resulta em uma componente na direção
:
Simplificando:
Então, o torque é:
Resposta
O torque ao qual a partícula está submetida em relação à origem é
.