A posição de uma partícula em movimento harmônico simples é dada por x(t)=a cos (b t+pi / 3), onde a=8,00 m e b=2,00 s^-1.
(a) Quais são amplitude,
(b) frequência f e
© período?
(d) Qual é a magnitude da velocidade e aceleração da partícula em t=pi / 2 s ?
(e) Qual é a magnitude máxima da aceleração e em que instante após t=0 a partícula tem pela primeira vez essa aceleração?
(f) Qual é sua velocidade máxima, e em que instante após t=0 ele tem pela primeira vez essa velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o movimento harmônico simples de uma partícula, onde a posição dela em função do tempo é dada por $ x(t) = a \cos(b t + \frac{\pi}{3}) $. A gente precisa encontrar a amplitude, a frequência, o período, as magnitudes da velocidade e aceleração em um tempo específico, além das magnitudes máximas da aceleração e velocidade e os instantes em que ocorrem pela primeira vez. Para isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Parte (a): Qual é a amplitude?
A amplitude de um movimento harmônico simples é o valor máximo que a posição $ x(t) $ atinge em relação à posição de equilíbrio. Olhando para a função $ x(t) = a \cos(b t + \frac{\pi}{3}) $, a amplitude é representada pelo valor de $ a $.
Então, a amplitude $ a = 8,00 , m $.

Passo 3

Parte (b): Qual é a frequência $ f $?
A frequência $ f $ está relacionada com o termo $ b $ na função. A frequência angular $ \omega $ é igual a $ b $, e a frequência $ f $ está relacionada por $ \omega = 2\pi f $.
Vamos isolar $ f $:
f
Substituindo $ b = 2,00 , s^{-1} $:
f

Passo 4

Parte ©: Qual é o período?
O período $ T $ é o inverso da frequência:
T
Usando $ f \approx 0,318 , Hz $:
T = 1f

Passo 5

Parte (d): Qual é a magnitude da velocidade e aceleração da partícula em $ t = \frac{\pi}{2} , s $?
Primeiro, precisamos encontrar as expressões da velocidade $ v(t) $ e da aceleração $ a(t) $.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
t = pi2 , s
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
v(t)
Agora, substituímos os valores para $ t = \frac{\pi}{2} , s $, $ a = 8,00 , m $, e $ b = 2,00 , s^{-1} $:
Para a velocidade:
a(t)
v(t) = dxdt = -a b sin(b t + pi3)
a(t) = dvdt = -a b^2 cos(b t + pi3)
Para a aceleração:
t = pi2 , s
a = 8,00 , m
b = 2,00 , s^-1

Passo 6

Parte (e): Qual é a magnitude máxima da aceleração e em que instante após $ t = 0 $ a partícula tem pela primeira vez essa aceleração?
A magnitude máxima da aceleração ocorre quando $ \cos(b t + \frac{\pi}{3}) = \pm 1 $. Como a função é $ a(t) = -a b^2 \cos(b t + \frac{\pi}{3}) $, a magnitude máxima é:
t = 0 á
Para encontrar o instante em que isso ocorre pela primeira vez após $ t = 0 $, resolvemos:
cos(b t + pi3) = pm 1
Vamos considerar $ \cos(b t + \frac{\pi}{3}) = 1 $:
a(t) = -a b^2 cos(b t + pi3)
|amáx| = a b^2 = 8,00 times (2,00)^2 = 32,00 , m/s^2 ã
t = 0
cos(b t + pi3) = pm 1
cos(b t + pi3) = 1

Passo 7

Parte (f): Qual é sua velocidade máxima, e em que instante após $ t = 0 $ ele tem pela primeira vez essa velocidade?
A velocidade máxima ocorre quando $ \sin(b t + \frac{\pi}{3}) = \pm 1 $. A função da velocidade é $ v(t) = -a b \sin(b t + \frac{\pi}{3}) $, então a magnitude máxima é:
t = 0 á
Para encontrar o instante em que isso ocorre pela primeira vez após $ t = 0 $, resolvemos:
sin(b t + pi3) = pm 1
Vamos considerar $ \sin(b t + \frac{\pi}{3}) = 1 $:
v(t) = -a b sin(b t + pi3)
|vmáx| = a b = 8,00 times 2,00 = 16,00 , m/s
t = 0
sin(b t + pi3) = pm 1

Resposta

(a) A amplitude é $ 8,00 , m $.
(b) A frequência é aproximadamente $ 0,318 , Hz $.
© O período é aproximadamente $ 3,14 , s $.
(d) Em $ t = \frac{\pi}{2} , s $, a velocidade é aproximadamente $ 13,86 , m/s $ e a aceleração é $ 16,00 , m/s^2 $.
(e) A magnitude máxima da aceleração é $ 32,00 , m/s^2 $, ocorrendo pela primeira vez em aproximadamente $ 2,62 , s $.
(f) A velocidade máxima é $ 16,00 , m/s $, ocorrendo pela primeira vez em aproximadamente $ 0,26 , s $.

Exercícios relacionados