A posição de uma partícula em movimento harmônico simples é dada por
, onde
.
(a) Quais são amplitude,
(b) frequência
e
© período?
(d) Qual é a magnitude da velocidade e aceleração da partícula em
?
(e) Qual é a magnitude máxima da aceleração e em que instante após
a partícula tem pela primeira vez essa aceleração?
(f) Qual é sua velocidade máxima, e em que instante após
ele tem pela primeira vez essa velocidade?
(a) Quais são amplitude,
(b) frequência
© período?
(d) Qual é a magnitude da velocidade e aceleração da partícula em
(e) Qual é a magnitude máxima da aceleração e em que instante após
(f) Qual é sua velocidade máxima, e em que instante após
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o movimento harmônico simples de uma partícula, onde a posição dela em função do tempo é dada por $ x(t) = a \cos(b t + \frac{\pi}{3}) $. A gente precisa encontrar a amplitude, a frequência, o período, as magnitudes da velocidade e aceleração em um tempo específico, além das magnitudes máximas da aceleração e velocidade e os instantes em que ocorrem pela primeira vez. Para isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e algumas fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Parte (a): Qual é a amplitude?
A amplitude de um movimento harmônico simples é o valor máximo que a posição $ x(t) $ atinge em relação à posição de equilíbrio. Olhando para a função $ x(t) = a \cos(b t + \frac{\pi}{3}) $, a amplitude é representada pelo valor de $ a $.
Então, a amplitude $ a = 8,00 , m $.
Passo 3
Parte (b): Qual é a frequência $ f $?
A frequência $ f $ está relacionada com o termo $ b $ na função. A frequência angular $ \omega $ é igual a $ b $, e a frequência $ f $ está relacionada por $ \omega = 2\pi f $.
Vamos isolar $ f $:
Substituindo $ b = 2,00 , s^{-1} $:
Passo 4
Parte ©: Qual é o período?
O período $ T $ é o inverso da frequência:
Usando $ f \approx 0,318 , Hz $:
Passo 5
Parte (d): Qual é a magnitude da velocidade e aceleração da partícula em $ t = \frac{\pi}{2} , s $?
Primeiro, precisamos encontrar as expressões da velocidade $ v(t) $ e da aceleração $ a(t) $.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Agora, substituímos os valores para $ t = \frac{\pi}{2} , s $, $ a = 8,00 , m $, e $ b = 2,00 , s^{-1} $:
Para a velocidade:
Para a aceleração:
Passo 6
Parte (e): Qual é a magnitude máxima da aceleração e em que instante após $ t = 0 $ a partícula tem pela primeira vez essa aceleração?
A magnitude máxima da aceleração ocorre quando $ \cos(b t + \frac{\pi}{3}) = \pm 1 $. Como a função é $ a(t) = -a b^2 \cos(b t + \frac{\pi}{3}) $, a magnitude máxima é:
Para encontrar o instante em que isso ocorre pela primeira vez após $ t = 0 $, resolvemos:
Vamos considerar $ \cos(b t + \frac{\pi}{3}) = 1 $:
Passo 7
Parte (f): Qual é sua velocidade máxima, e em que instante após $ t = 0 $ ele tem pela primeira vez essa velocidade?
A velocidade máxima ocorre quando $ \sin(b t + \frac{\pi}{3}) = \pm 1 $. A função da velocidade é $ v(t) = -a b \sin(b t + \frac{\pi}{3}) $, então a magnitude máxima é:
Para encontrar o instante em que isso ocorre pela primeira vez após $ t = 0 $, resolvemos:
Vamos considerar $ \sin(b t + \frac{\pi}{3}) = 1 $:
Resposta
(a) A amplitude é $ 8,00 , m $.
(b) A frequência é aproximadamente $ 0,318 , Hz $.
© O período é aproximadamente $ 3,14 , s $.
(d) Em $ t = \frac{\pi}{2} , s $, a velocidade é aproximadamente $ 13,86 , m/s $ e a aceleração é $ 16,00 , m/s^2 $.
(e) A magnitude máxima da aceleração é $ 32,00 , m/s^2 $, ocorrendo pela primeira vez em aproximadamente $ 2,62 , s $.
(f) A velocidade máxima é $ 16,00 , m/s $, ocorrendo pela primeira vez em aproximadamente $ 0,26 , s $.