O vetor A tem módulo igual a 6,00 unidades, o vetor B tem módulo igual a 7,00 unidades e, A . B = 14,0. Qual é o ângulo entre A e B?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente tem dois vetores, o A com módulo (ou tamanho) de 6,00 unidades e o B com módulo de 7,00 unidades. Além disso, o produto escalar entre eles, que é representado por A · B, vale 14,0. O que a gente precisa descobrir é o ângulo que forma entre o vetor A e o vetor B. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente relacionados ao produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do produto escalar entre dois vetores em termos dos seus módulos e do ângulo entre eles. A fórmula é:
A cdot B = |A| times |B| times cos(theta)
Onde:
  • A cdot B é o produto escalar dos vetores A e B.
  • |A| e |B| são os módulos (tamanhos) dos vetores A e B, respectivamente.
  • theta é o ângulo entre os dois vetores.
  • cos(theta) é o cosseno desse ângulo.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Sabemos que:
A cdot B = 14,0
|A| = 6,00
|B| = 7,00
Substituindo esses valores na fórmula:
14,0 = 6,00 times 7,00 times cos(theta)
Vamos calcular o produto dos módulos:
6,00 times 7,00 = 42,00
Então temos:
14,0 = 42,00 times cos(theta)

Passo 4

Agora, para encontrar cos(theta), vamos isolar essa parte da equação dividindo ambos os lados por 42,00:
cos(theta) = 14,042,00
cos(theta) = 13

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta, precisamos usar a função inversa do cosseno, que é o arco cosseno (também conhecido como cos^-1):
theta = cos^-1(13)
Agora, usando uma calculadora científica, podemos calcular esse valor:
theta approx 70,53^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores A e B é aproximadamente 70,53 graus.

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