Os vetores posição dos pontos P e Q são dados por: r1=2 i+3 j-k e r2=4 i-3 j+2 k. Determinar P Q em função de i, j e k e achar seu módulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá os vetores posição dos pontos $ P $ e $ Q $ e pede para determinarmos o vetor $ \overrightarrow{PQ} $ nas direções dos eixos $ \hat{i}, \hat{j} $ e $ \hat{k} $, além de calcularmos o módulo desse vetor. Para isso, vamos usar conceitos de vetores posição e operações com vetores, como a subtração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são vetores posição. O vetor posição de um ponto indica sua posição no espaço em relação à origem. Para os pontos $ P $ e $ Q $, temos:
P
Q
Aqui, $ \hat{i}, \hat{j} $ e $ \hat{k} $ são os vetores unitários nos eixos $ x, y $ e $ z $, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o vetor $ \overrightarrow{PQ} $, precisamos calcular a diferença entre o vetor posição de $ Q $ e o vetor posição de $ P $. A fórmula para isso é:
PQ

Passo 4

Agora, vamos fazer a subtração componente a componente:
PQ = (4,i - 3,j + 2,k) - (2,i + 3,j - k)
Isso nos dá:
PQ = (4 - 2),i + (-3 - 3),j + (2 - (-1)),k
Simplificando:
PQ = 2,i - 6,j + 3,k

Passo 5

Agora que temos $ \overrightarrow{PQ} $, vamos calcular o módulo desse vetor. O módulo de um vetor $ \vec{V} = a,\hat{i} + b,\hat{j} + c,\hat{k} $ é dado por:
PQ

Passo 6

Aplicando a fórmula ao nosso vetor $ \overrightarrow{PQ} = 2,\hat{i} - 6,\hat{j} + 3,\hat{k} $:
PQ = 2,i - 6,j + 3,k

Resposta

Portanto, o vetor $ \overrightarrow{PQ} $ é:
PQ
E o módulo desse vetor é:
PQ = 2,i - 6,j + 3,k

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