Os vetores posição dos pontos P e Q são dados por: . Determinar em função de i, j e k e achar seu módulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá os vetores posição dos pontos $ P $ e $ Q $ e pede para determinarmos o vetor $ \overrightarrow{PQ} $ nas direções dos eixos $ \hat{i}, \hat{j} $ e $ \hat{k} $, além de calcularmos o módulo desse vetor. Para isso, vamos usar conceitos de vetores posição e operações com vetores, como a subtração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são vetores posição. O vetor posição de um ponto indica sua posição no espaço em relação à origem. Para os pontos $ P $ e $ Q $, temos:
P
Q
Aqui, $ \hat{i}, \hat{j} $ e $ \hat{k} $ são os vetores unitários nos eixos $ x, y $ e $ z $, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar o vetor $ \overrightarrow{PQ} $, precisamos calcular a diferença entre o vetor posição de $ Q $ e o vetor posição de $ P $. A fórmula para isso é:
PQ
Passo 4
Agora, vamos fazer a subtração componente a componente:
PQ = (4,i - 3,j + 2,k) - (2,i + 3,j - k)
Isso nos dá:
PQ = (4 - 2),i + (-3 - 3),j + (2 - (-1)),k
Simplificando:
PQ = 2,i - 6,j + 3,k
Passo 5
Agora que temos $ \overrightarrow{PQ} $, vamos calcular o módulo desse vetor. O módulo de um vetor $ \vec{V} = a,\hat{i} + b,\hat{j} + c,\hat{k} $ é dado por:
PQ
Passo 6
Aplicando a fórmula ao nosso vetor $ \overrightarrow{PQ} = 2,\hat{i} - 6,\hat{j} + 3,\hat{k} $: