Para a viga bi-apoiada a seguir, há um limite de projeto estabelecido em norma para o deslocamento vertical, de modo que o máximo valor que esse possa assumir é de 5 cm . Sabe-se que a carga distribuída é de q=15 kN / m, o material é uma madeira Ipê-roxo com E=16.500 MPa, e sua seção transversal é um pranchão de seção retangular de base e altura, respectivamente, de 15 e 23 cm . Determine o maior valor do vão (L) de modo a atender a norma.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma viga bi-apoiada (ou simplesmente apoiada) sujeita a uma carga distribuída de $ q = 15 , kN/m $. A madeira usada é Ipê-roxo, com módulo de elasticidade $ E = 16.500 , MPa $. A seção transversal da viga é retangular, com base $ b = 15 , cm $ e altura $ h = 23 , cm $. A norma estabelece que o deslocamento vertical máximo permitido da viga é de $ 5 , cm $. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior vão $ L $ que a viga pode ter para não exceder esse deslocamento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente a fórmula de deslocamento máximo para vigas simplesmente apoiadas com carga distribuída. Além disso, iremos calcular o momento de inércia da seção transversal da viga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do deslocamento máximo ($ \delta_{máx} $) para uma viga simplesmente apoiada com carga distribuída uniforme:
deá
Onde:
  • $ \delta_{máx} $ é o deslocamento máximo permitido (neste caso, 5 cm),
  • $ q $ é a carga distribuída (15 kN/m),
  • $ L $ é o vão da viga que queremos encontrar,
  • $ E $ é o módulo de elasticidade da madeira (16.500 MPa),
  • $ I $ é o momento de inércia da seção transversal.
Nosso objetivo é isolar $ L $ nessa equação.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia ($ I $) da seção transversal retangular da viga. A fórmula para $ I $ de uma seção retangular é:
I
Onde:
  • $ b $ é a base da seção (15 cm),
  • $ h $ é a altura da seção (23 cm).
Vamos converter as medidas para metros para manter as unidades consistentes:
I
I = b h^312
Agora, calculando $ I $:
b
h
b = 15 , cm = 0,15 , m
h = 23 , cm = 0,23 , m

Passo 4

Agora que temos $ I $, podemos reorganizar a fórmula do deslocamento máximo para resolver $ L $:
I á
Isolando $ L^4 $:
L á
E então, tirando a raiz quarta para encontrar $ L $:
deá

Passo 5

Vamos substituir os valores na equação. Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam corretas:
  • $ \delta_{máx} = 5 , cm = 0,05 , m $,
  • $ q = 15 , kN/m = 15 \times 10^3 , N/m $,
  • $ E = 16.500 , MPa = 16.500 \times 10^6 , N/m^2 $,
  • $ I = 0,000152 , m^4 $.
Substituindo:
de

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, o numerador:
0,05 times 384 = 19,2
19,2 times 16.500 times 10^6 = 316.800 times 10^6
316.800 times 10^6 times 0,000152 = 48.153.600
Agora, o denominador:
5 times 15 times 10^3 = 75 times 10^3 = 75.000
Dividindo numerador pelo denominador:
48.153.60075.000 = 642,048
Agora, tirando a raiz quarta:
L = (642,048)^14 approx 5,42 , m

Resposta

O maior valor do vão $ L $ que atende à norma é aproximadamente 5,42 metros.

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