Para a viga bi-apoiada a seguir, há um limite de projeto estabelecido em norma para o deslocamento vertical, de modo que o máximo valor que esse possa assumir é de 5 cm . Sabe-se que a carga distribuída é de
, o material é uma madeira Ipê-roxo
, e sua seção transversal é um pranchão de seção retangular de base e altura, respectivamente, de 15 e 23 cm . Determine o maior valor do vão (L) de modo a atender a norma.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma viga bi-apoiada (ou simplesmente apoiada) sujeita a uma carga distribuída de $ q = 15 , kN/m $. A madeira usada é Ipê-roxo, com módulo de elasticidade $ E = 16.500 , MPa $. A seção transversal da viga é retangular, com base $ b = 15 , cm $ e altura $ h = 23 , cm $. A norma estabelece que o deslocamento vertical máximo permitido da viga é de $ 5 , cm $. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior vão $ L $ que a viga pode ter para não exceder esse deslocamento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente a fórmula de deslocamento máximo para vigas simplesmente apoiadas com carga distribuída. Além disso, iremos calcular o momento de inércia da seção transversal da viga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do deslocamento máximo ($ \delta_{máx} $) para uma viga simplesmente apoiada com carga distribuída uniforme:
Onde:
- $ \delta_{máx} $ é o deslocamento máximo permitido (neste caso, 5 cm),
- $ q $ é a carga distribuída (15 kN/m),
- $ L $ é o vão da viga que queremos encontrar,
- $ E $ é o módulo de elasticidade da madeira (16.500 MPa),
- $ I $ é o momento de inércia da seção transversal.
Nosso objetivo é isolar $ L $ nessa equação.
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia ($ I $) da seção transversal retangular da viga. A fórmula para $ I $ de uma seção retangular é:
Onde:
- $ b $ é a base da seção (15 cm),
- $ h $ é a altura da seção (23 cm).
Vamos converter as medidas para metros para manter as unidades consistentes:
Agora, calculando $ I $:
Passo 4
Agora que temos $ I $, podemos reorganizar a fórmula do deslocamento máximo para resolver $ L $:
Isolando $ L^4 $:
E então, tirando a raiz quarta para encontrar $ L $:
Passo 5
Vamos substituir os valores na equação. Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam corretas:
- $ \delta_{máx} = 5 , cm = 0,05 , m $,
- $ q = 15 , kN/m = 15 \times 10^3 , N/m $,
- $ E = 16.500 , MPa = 16.500 \times 10^6 , N/m^2 $,
- $ I = 0,000152 , m^4 $.
Substituindo:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, o numerador:
Agora, o denominador:
Dividindo numerador pelo denominador:
Agora, tirando a raiz quarta:
Resposta
O maior valor do vão $ L $ que atende à norma é aproximadamente 5,42 metros.