Você, como engenheiro de uma companhia fabricante de equipamentos hidráulicos, tem que projetar um macaco hidráulico que tem por função sustentar objetos de até 2500 kg de massa à partir de uma força exercida por um massa de 25 kg. Por limitações de projeto, o pistão do lado da massa de 25 kg tem um diâmetro de 10cm (veja o esquema abaixo). Primeiramente, determine o diâmetro mínimo do pistão do lado do objeto a ser sustentado (
, no esquema abaixo). Pretende-se ainda usar o equipamento para elevar a massa a uma altura de 10cm. Isso é possível com as limitações de projeto? Se for possível, qual deve ser o diâmetro
e a extensão mínima dos cilindros (
, no esquema abaixo). Se não for possível, qual é a altura máxima que o equipamento poderia elevar e ainda os valores de
e
. Considere que o fluido de trabalho (óleo) tem uma densidade relativa a água de 0,9 e também que na posição de repouso inicial (sem a massa e nem o objeto), os pistões estão a mesma altura (ou seja, despreze as massas dos pistões). Expresse claramente qualquer consideração adicional que você fizer.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Você precisa projetar um macaco hidráulico que consiga sustentar objetos com massa de até 2500 kg usando uma força exercida por uma massa de 25 kg. O pistão que recebe a força da massa de 25 kg tem um diâmetro de 10 cm. Além disso, queremos levantar a massa até uma altura de 10 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática, especificamente a lei de Pascal, que diz que a pressão aplicada em um fluido é transmitida igualmente em todas as direções. Vamos precisar calcular áreas de pistões, forças e verificar se a altura desejada pode ser alcançada dentro das limitações do projeto.
Passo 2
Vamos começar determinando o diâmetro mínimo do pistão que sustenta a carga de 2500 kg, que chamaremos de $ D_2 $.
Primeiramente, calculamos a força exercida pela massa de 25 kg ($ F_1
F_2 $) usando a fórmula:
onde:
- $ m $ é a massa,
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $).
Então,
A área de um pistão é dada por:
Para manter a pressão igual nos dois pistões ($ P_1 = P_2 $), temos:
Rearranjando para encontrar $ A_2 $:
Calculando $ A_1 $ com $ D_1 = 10 , cm $:
Então,
Agora, encontramos o diâmetro $ D_2 $ a partir de $ A_2 $:
Passo 3
Agora, vamos verificar se é possível elevar a massa a uma altura de 10 cm com as limitações do projeto.
Quando levantamos a massa, o fluido deslocado pelo pistão menor ($ h_1
h_2 $):
Queremos que $ h_2 = 10 , cm $, então:
Isso significa que o pistão menor precisaria se deslocar 10 metros para levantar a massa 10 cm com o diâmetro $ D_2 = 100 , cm $. Esse deslocamento é impraticável para um macaco hidráulico comum.
Passo 4
Como o deslocamento necessário de 10 metros não é viável, concluímos que, com o diâmetro mínimo calculado ($ D_2 = 100 , cm $), não é possível elevar a massa a uma altura de 10 cm dentro das limitações de projeto.
Resposta
Não é possível elevar a massa a 10 cm com o diâmetro mínimo $ D_2 = 100 , cm $ e a extensão dos cilindros de 10 metros. A altura máxima que o equipamento poderia elevar, mantendo $ D_2 = 100 , cm $, seria 0,1 cm.