Você é um projetista de uma reconhecida empresa de eletrodomésticos e precisa projetar um regulador de tensão baseado no divisor de tensão R1 e R2 para uma lâmpada que possui uma corrente máxima de I m a x=2 A e demanda uma tensão de Vo=3,5 V. Este regulador de tensão é baseado em um divisor de tensão, como mostrado aqui:
Sua tensão de entrada é 14 V . Com o intuito de diminuir o consumo do regulador quando a carga está desconectada, é requerido que a corrente da fonte (lin) sem a carga conectada seja 1000 vezes menor do que a corrente máxima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre projetar um regulador de tensão usando um divisor de tensão com resistores R1 e R2. A gente precisa garantir que uma lâmpada receba 3,5 V com uma corrente máxima de 2 A. Além disso, quando a lâmpada não estiver conectada, a corrente da fonte deve ser 1000 vezes menor que 2 A, ou seja, 2 mA. Para isso, vamos usar conceitos de divisores de tensão e resistência equivalente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa usar um divisor de tensão. Um divisor de tensão é composto por dois resistores em série, onde a tensão de entrada ( Vin) é dividida entre eles de acordo com seus valores. A fórmula para a tensão de saída ( Vout) é:
Vout = Vin times R2R1 + R2
Aqui, Vin é 14 V e queremos Vout de 3,5 V quando a lâmpada está conectada.

Passo 3

Quando a lâmpada está conectada, ela consome 2 A a 3,5 V. Podemos encontrar a resistência da lâmpada usando a Lei de Ohm:
Rcarga = VoImax = 3,5,V2,A = 1,75,Omega

Passo 4

Agora, precisamos considerar que quando a carga está conectada, o resistor R2 está em paralelo com Rcarga. A resistência equivalente ( Rp) desse paralelo é:
Rp = R2 times RcargaR2 + Rcarga
E a tensão de saída ainda é dada por:
Vout = Vin times RpR1 + Rp = 3,5,V

Passo 5

Além disso, segundo o enunciado, quando a carga não está conectada, a corrente da fonte deve ser 2 mA. Isso significa que a corrente total sem a carga é apenas a corrente que passa por R1 e R2:
Ifonte = VinR1 + R2 = 0,002,A
Portanto:
R1 + R2 = 14,V0,002,A = 7000,Omega

Passo 6

Agora, voltando à equação da tensão de saída:
RpR1 + Rp = 3,514 = 14
Então:
R1 + Rp = 4Rp Rightarrow R1 = 3Rp

Passo 7

Substituindo Rp pela expressão em termos de R2:
Rp = R2 times 1,75R2 + 1,75
E como R1 = 3Rp, temos:
R1 = 3 times R2 times 1,75R2 + 1,75

Passo 8

Sabendo que R1 + R2 = 7000,Omega, substituímos R1 na equação:
3 times R2 times 1,75R2 + 1,75 + R2 = 7000,Omega
Vamos resolver essa equação para encontrar R2.

Passo 9

Resolvendo a equação:
5,25 R2R2 + 1,75 + R2 = 7000
Multiplicando ambos os lados por (R2 + 1,75) para eliminar o denominador:
5,25 R2 + R2(R2 + 1,75) = 7000(R2 + 1,75)
Expandindo:
5,25 R2 + R2^2 + 1,75 R2 = 7000 R2 + 12250
Rearranjando os termos:
R2^2 + (5,25 + 1,75) R2 - 7000 R2 - 12250 = 0
Simplificando:
R2^2 - 6988 R2 - 12250 = 0

Passo 10

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
R2 = 6988 pm raiz6988^2 + 4 times 1 times 122502
Calculando o discriminante:
raiz6988^2 + 49000 approx raiz48,711,344 + 49,000 approx raiz48,760,344 approx 6982,2
Portanto:
R2 = 6988 + 6982,22 approx 13970,22 approx 6985,1,Omega
Desconsideramos a solução negativa.

Passo 11

Com R2 approx 6985,1,Omega, podemos encontrar R1:
R1 = 7000,Omega - 6985,1,Omega approx 14,9,Omega

Resposta

Para o regulador de tensão desejado, os valores dos resistores são aproximadamente:
  • R1: 15 Ω
  • R2: 6985 Ω

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