Se X e Y são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segundo uma lei de Poisson de parâmetro lambda, então W=X+Y tem distribuição de Poisson de parâmetro 2 lambda. Obtenha a distribuição de X condicionada a W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas variáveis aleatórias, e , que são independentes e seguem uma distribuição de Poisson com parâmetro . A gente quer descobrir qual é a distribuição de sabendo que a soma é igual a algum valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicionada e propriedades da distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, com eventos ocorrendo de forma independente. A função de probabilidade é dada por:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
onde é o número de eventos.

Passo 3

Sabemos que W sim Poisson(2lambda) e são independentes e . Quando somamos duas variáveis de Poisson independentes com parâmetros , a soma também segue uma distribuição de Poisson, mas com parâmetro :

Passo 4

Queremos encontrar a distribuição de P(X = k mid W = n) = P(X = k e W = n)P(W = n) condicionada a , ou seja, . Para isso, usamos a definição de probabilidade condicional:

Passo 5

Como P(X = k e W = n) = P(X = k e Y = n - k) , a condição P(X = k e Y = n - k) = P(X = k) cdot P(Y = n - k) = e^-lambda lambda^kk! cdot e^-lambda lambda^n - k(n - k)! implica que . Portanto:
Como e são independentes:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da probabilidade condicional:
P(X = k mid W = n) = e^-lambda lambda^kk! cdot e^-lambda lambda^n - k(n - k)!e^-2lambda (2lambda)^nn! = e^-2lambda lambda^nk!(n - k)! div e^-2lambda (2lambda)^nn!

Passo 7

Simplificando a expressão:
P(X = k mid W = n) = n!k!(n - k)! cdot (12)^n = binomnk (12)^n
Isso é a função de probabilidade de uma distribuição binomial com parâmetros e .

Resposta

A distribuição de X mid W = n sim Binomial(n, 12) condicionada a é binomial com parâmetros e :

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