Se X e Y são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segundo uma lei de Poisson de parâmetro
, então
tem distribuição de Poisson de parâmetro
. Obtenha a distribuição de
condicionada a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas variáveis aleatórias,
e
, que são independentes e seguem uma distribuição de Poisson com parâmetro
. A gente quer descobrir qual é a distribuição de
sabendo que a soma
é igual a algum valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicionada e propriedades da distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, com eventos ocorrendo de forma independente. A função de probabilidade é dada por:
onde
é o número de eventos.
Passo 3
Sabemos que
e
são independentes e
. Quando somamos duas variáveis de Poisson independentes com parâmetros
, a soma
também segue uma distribuição de Poisson, mas com parâmetro
:
Passo 4
Queremos encontrar a distribuição de
condicionada a
, ou seja,
. Para isso, usamos a definição de probabilidade condicional:
Passo 5
Como
, a condição
implica que
. Portanto:
Como
e
são independentes:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula da probabilidade condicional:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Isso é a função de probabilidade de uma distribuição binomial com parâmetros
e
.
Resposta
A distribuição de
condicionada a
é binomial com parâmetros
e
: