Se X e Y são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segundo uma lei de Poisson de parâmetro , então tem distribuição de Poisson de parâmetro . Obtenha a distribuição de condicionada a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas variáveis aleatórias, e , que são independentes e seguem uma distribuição de Poisson com parâmetro . A gente quer descobrir qual é a distribuição de sabendo que a soma é igual a algum valor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicionada e propriedades da distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, com eventos ocorrendo de forma independente. A função de probabilidade é dada por:
onde é o número de eventos.

Passo 3

Sabemos que e são independentes e . Quando somamos duas variáveis de Poisson independentes com parâmetros , a soma também segue uma distribuição de Poisson, mas com parâmetro :

Passo 4

Queremos encontrar a distribuição de condicionada a , ou seja, . Para isso, usamos a definição de probabilidade condicional:

Passo 5

Como , a condição implica que . Portanto:
Como e são independentes:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da probabilidade condicional:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Isso é a função de probabilidade de uma distribuição binomial com parâmetros e .

Resposta

A distribuição de condicionada a é binomial com parâmetros e :

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a)
b)
C)
d)
e)
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