Uma moeda é lançada duas vezes. Consideremos as variáveis aleatórias:
X : face obtida no primeiro lançamento
Y : face obtida no segundo lançamento
Z : número de caras obtido nos dois lançamentos
Verifique se: a) as variáveis
são independentes.
X : face obtida no primeiro lançamento
Y : face obtida no segundo lançamento
Z : número de caras obtido nos dois lançamentos
Verifique se: a) as variáveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade onde uma moeda é jogada duas vezes. As variáveis aleatórias são:
- X: a face que sai no primeiro lançamento
- Y: a face que sai no segundo lançamento
- Z: o número de caras nas duas jogadas
Precisamos verificar se essas variáveis X, Y e Z são independentes. Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência de variáveis aleatórias e calcular as probabilidades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas variáveis aleatórias serem independentes. Duas variáveis são independentes se o resultado de uma não afeta o resultado da outra. Matematicamente, isso é descrito por:
No nosso caso, temos três variáveis, então precisamos verificar se essa condição vale para todas as combinações possíveis de X, Y e Z.
Passo 3
Vamos listar todas as possíveis combinações dos lançamentos da moeda:
- Cara no primeiro e Cara no segundo lançamento (CC)
- Cara no primeiro e Coroa no segundo lançamento (CT)
- Coroa no primeiro e Cara no segundo lançamento (TC)
- Coroa no primeiro e Coroa no segundo lançamento (TT)
Agora, vamos determinar os valores de X, Y e Z para cada combinação:
- CC: X = Cara, Y = Cara, Z = 2
- CT: X = Cara, Y = Coroa, Z = 1
- TC: X = Coroa, Y = Cara, Z = 1
- TT: X = Coroa, Y = Coroa, Z = 0
Passo 4
Vamos calcular as probabilidades de cada combinação. Como a moeda é justa, cada lançamento tem probabilidade igual de dar Cara ou Coroa, ou seja, 0,5 para cada face.
- P(CC) = 0,5 × 0,5 = 0,25
- P(CT) = 0,5 × 0,5 = 0,25
- P(TC) = 0,5 × 0,5 = 0,25
- P(TT) = 0,5 × 0,5 = 0,25
Passo 5
Agora, vamos calcular as probabilidades marginais de X, Y e Z:
- P(X = Cara) = P(CC) + P(CT) = 0,25 + 0,25 = 0,5
- P(X = Coroa) = P(TC) + P(TT) = 0,25 + 0,25 = 0,5
- P(Y = Cara) = P(CC) + P(TC) = 0,25 + 0,25 = 0,5
- P(Y = Coroa) = P(CT) + P(TT) = 0,25 + 0,25 = 0,5
- P(Z = 2) = P(CC) = 0,25
- P(Z = 1) = P(CT) + P(TC) = 0,25 + 0,25 = 0,5
- P(Z = 0) = P(TT) = 0,25
Passo 6
Vamos agora verificar a independência entre X, Y e Z. Para isso, vamos checar se a probabilidade conjunta de qualquer par de variáveis é igual ao produto de suas probabilidades marginais.
Por exemplo, vamos verificar X e Z:
- P(X = Cara e Z = 2) = P(CC) = 0,25
- P(X = Cara) × P(Z = 2) = 0,5 × 0,25 = 0,125
Como 0,25 ≠ 0,125, X e Z não são independentes.
Resposta
As variáveis aleatórias X, Y e Z não são independentes.