Uma moeda é lançada duas vezes. Consideremos as variáveis aleatórias: X : face obtida no primeiro lançamento Y : face obtida no segundo lançamento Z : número de caras obtido nos dois lançamentos Verifique se: a) as variáveis são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade onde uma moeda é jogada duas vezes. As variáveis aleatórias são: - **X**: a face que sai no primeiro lançamento - **Y**: a face que sai no segundo lançamento - **Z**: o número de caras nas duas jogadas Precisamos verificar se essas variáveis **X**, **Y** e **Z** são independentes. Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência de variáveis aleatórias e calcular as probabilidades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas variáveis aleatórias serem independentes. Duas variáveis são independentes se o resultado de uma não afeta o resultado da outra. Matematicamente, isso é descrito por: No nosso caso, temos três variáveis, então precisamos verificar se essa condição vale para todas as combinações possíveis de **X**, **Y** e **Z**.

Passo 3

Vamos listar todas as possíveis combinações dos lançamentos da moeda: 1. **Cara** no primeiro e **Cara** no segundo lançamento (CC) 2. **Cara** no primeiro e **Coroa** no segundo lançamento (CT) 3. **Coroa** no primeiro e **Cara** no segundo lançamento (TC) 4. **Coroa** no primeiro e **Coroa** no segundo lançamento (TT) Agora, vamos determinar os valores de **X**, **Y** e **Z** para cada combinação: 1. **CC**: X = Cara, Y = Cara, Z = 2 2. **CT**: X = Cara, Y = Coroa, Z = 1 3. **TC**: X = Coroa, Y = Cara, Z = 1 4. **TT**: X = Coroa, Y = Coroa, Z = 0

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades de cada combinação. Como a moeda é justa, cada lançamento tem probabilidade igual de dar **Cara** ou **Coroa**, ou seja, 0,5 para cada face. - P(CC) = 0,5 × 0,5 = 0,25 - P(CT) = 0,5 × 0,5 = 0,25 - P(TC) = 0,5 × 0,5 = 0,25 - P(TT) = 0,5 × 0,5 = 0,25

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades marginais de **X**, **Y** e **Z**: - **P(X = Cara)** = P(CC) + P(CT) = 0,25 + 0,25 = 0,5 - **P(X = Coroa)** = P(TC) + P(TT) = 0,25 + 0,25 = 0,5 - **P(Y = Cara)** = P(CC) + P(TC) = 0,25 + 0,25 = 0,5 - **P(Y = Coroa)** = P(CT) + P(TT) = 0,25 + 0,25 = 0,5 - **P(Z = 2)** = P(CC) = 0,25 - **P(Z = 1)** = P(CT) + P(TC) = 0,25 + 0,25 = 0,5 - **P(Z = 0)** = P(TT) = 0,25

Passo 6

Vamos agora verificar a independência entre **X**, **Y** e **Z**. Para isso, vamos checar se a probabilidade conjunta de qualquer par de variáveis é igual ao produto de suas probabilidades marginais. Por exemplo, vamos verificar **X** e **Z**: - **P(X = Cara e Z = 2)** = P(CC) = 0,25 - **P(X = Cara) × P(Z = 2)** = 0,5 × 0,25 = 0,125 Como 0,25 ≠ 0,125, **X** e **Z** não são independentes.

Resposta

As variáveis aleatórias **X**, **Y** e **Z** **não são independentes**.

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