Uma moeda é lançada duas vezes. Consideremos as variáveis aleatórias:
X : face obtida no primeiro lançamento
Y : face obtida no segundo lançamento
Z : número de caras obtido nos dois lançamentos
Verifique se: a) as variáveis são independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade onde uma moeda é jogada duas vezes. As variáveis aleatórias são:
- **X**: a face que sai no primeiro lançamento
- **Y**: a face que sai no segundo lançamento
- **Z**: o número de caras nas duas jogadas
Precisamos verificar se essas variáveis **X**, **Y** e **Z** são independentes. Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência de variáveis aleatórias e calcular as probabilidades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas variáveis aleatórias serem independentes. Duas variáveis são independentes se o resultado de uma não afeta o resultado da outra. Matematicamente, isso é descrito por:
No nosso caso, temos três variáveis, então precisamos verificar se essa condição vale para todas as combinações possíveis de **X**, **Y** e **Z**.
Passo 3
Vamos listar todas as possíveis combinações dos lançamentos da moeda:
1. **Cara** no primeiro e **Cara** no segundo lançamento (CC)
2. **Cara** no primeiro e **Coroa** no segundo lançamento (CT)
3. **Coroa** no primeiro e **Cara** no segundo lançamento (TC)
4. **Coroa** no primeiro e **Coroa** no segundo lançamento (TT)
Agora, vamos determinar os valores de **X**, **Y** e **Z** para cada combinação:
1. **CC**: X = Cara, Y = Cara, Z = 2
2. **CT**: X = Cara, Y = Coroa, Z = 1
3. **TC**: X = Coroa, Y = Cara, Z = 1
4. **TT**: X = Coroa, Y = Coroa, Z = 0
Passo 4
Vamos calcular as probabilidades de cada combinação. Como a moeda é justa, cada lançamento tem probabilidade igual de dar **Cara** ou **Coroa**, ou seja, 0,5 para cada face.
- P(CC) = 0,5 × 0,5 = 0,25
- P(CT) = 0,5 × 0,5 = 0,25
- P(TC) = 0,5 × 0,5 = 0,25
- P(TT) = 0,5 × 0,5 = 0,25
Passo 5
Agora, vamos calcular as probabilidades marginais de **X**, **Y** e **Z**:
- **P(X = Cara)** = P(CC) + P(CT) = 0,25 + 0,25 = 0,5
- **P(X = Coroa)** = P(TC) + P(TT) = 0,25 + 0,25 = 0,5
- **P(Y = Cara)** = P(CC) + P(TC) = 0,25 + 0,25 = 0,5
- **P(Y = Coroa)** = P(CT) + P(TT) = 0,25 + 0,25 = 0,5
- **P(Z = 2)** = P(CC) = 0,25
- **P(Z = 1)** = P(CT) + P(TC) = 0,25 + 0,25 = 0,5
- **P(Z = 0)** = P(TT) = 0,25
Passo 6
Vamos agora verificar a independência entre **X**, **Y** e **Z**. Para isso, vamos checar se a probabilidade conjunta de qualquer par de variáveis é igual ao produto de suas probabilidades marginais.
Por exemplo, vamos verificar **X** e **Z**:
- **P(X = Cara e Z = 2)** = P(CC) = 0,25
- **P(X = Cara) × P(Z = 2)** = 0,5 × 0,25 = 0,125
Como 0,25 ≠ 0,125, **X** e **Z** não são independentes.
Resposta
As variáveis aleatórias **X**, **Y** e **Z** **não são independentes**.
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a)
b)
C)
d)
e)
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a)
b)
c)
d)
e)