Enunciado

Aeronaves modernas de alta velocidade usam “dados de ar computadorizados” para calcular a velocidade do ar a partir da diferença entre as pressões de estagnação e estática. Trace, como uma função do número real de Mach M, para M de 0,1 a 0,9, o erro percentual no número de Mach calculado a partir da diferença de pressões, considerando incompressibilidade (isto é, usando a equação de Bernoulli). Trace o erro percentual na velocidade da aeronave voando a 12 km de altitude como uma função da velocidade, para uma faixa de velocidades correspondente a números de Mach reais de 0,1 a 0,9.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem ?

Consideremos:

R = 286,9 J K g K         c p = 1004     k = 1,4   |     T = 2 16,7   K     P = 26,4   k P a  

Obs: As propriedades do ar são provenientes da Tabela A.6 ; T e P são da Tabela A.3, para a altura de 12km.

Vamos relembrar a equação de estagnação pela razão de pressão isentrópica:

P 0 P = 1 + k - 1 2 M 2 k k - 1

A diferença de pressões se dá por: Δ P = P 0 - P , então:

Δ P = P 1 + k - 1 2 M 2 k k - 1 - 1     1

Para cada número Mach, a mudança de pressão real pode ser calculada a partir da Eq. 1

Passo 2

Admitindo a incompressibilidade, vamos aplicar Bernoulli no problema:

P ρ + V 2 2 = P 0 ρ

Então, isolando V:

V =   2 Δ P ρ

Então, o número de Mach:

M = V c = 2 Δ P k ρ R T

Substituindo a eq 1 ( Δ P ) no número de Mach, temos:

M = 2 k 1 + k - 1 2 M 2 k k - 1 - 1  

O valor do erro, ao se usar o Bernoulli para descobrir o Mach é de:

Δ M M = M i n c o m p r e s s í v e l - M M      

Passo 3

Analisemos agora a diferença entre as velocidades, ao analisar os casos: compressível e incompressível.

V = M c

Assumindo a incompressibilidade:

V i n c = 2 k 1 + k - 1 2 M 2 k k - 1 - 1   * c

O valor do erro, ao se usar o Bernoulli para descobrir a velocidade é de:

Δ V V = V i n c o m p r e s s í v e l - V V      

Os cálculos e gráficos são mostrados abaixo, gerados usando o Excel.

Resposta

A partir dos resultados obtidos na tabela acima, é possível encontrar os gráficos dos erros, considerando a incompressibilidade.

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