Enunciado

Uma bebida gaseificada é completamente carregada com C O 2 a 17 ℃ e 600   k P a , de forma que toda a massa da bebida está em equilíbrio termodinâmico com a mistura de C O 2   e vapor de água. Agora, considere uma garrafa de soda de 2 L . Se o gás C O 2 dessa garrafa fosse libertado e armazenado em um recipiente a 25 ℃ e 100 k P a , determine o volume do recipiente.

Passo 1

Dados fornecidos:

Temperatura inicial do gás: T i = 17 ℃ = 290   K

Pressão inicial do gás: P i = 600   k P a

Volume da garrafa: V i = 2   L

Temperatura final do gás: T o = 25 ℃ = 298   K

Pressão final do gás: P o = 100   k P a

Propriedades:

Pela Tabela A-9

Pressão de saturação da água a 17 ℃ : P s a t = 1,96   k P a

Pela Tabela 14-6

A constante de Henry para C O 2 dissolvido em água a 17 ℃   ( 290   K ) :

H = 1280   b a r = 128000   k P a

Pela Tabela A-1

Massa molar do C O 2 : M C O 2 = 44,01   k g   /   k m o l

Massa molar da água: M H 2 O = 18.015   k g   /   k m o l

Constante gasosa do C O 2 : R C O 2 = 0,1899   k P a ⋅ m 3 / k g ⋅ K

Premissas:

1) A bebida líquida pode ser tratada como água.

2) Tanto o gás C O 2 quanto o vapor d'água são gases ideais.

3) O gás C O 2 é fracamente solúvel em água e, portanto, a lei de Henry é aplicável.

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos começar calculando a pressão parcial inicial do gás C O 2 na mistura de gás C O 2 e vapor de água acima do líquido formará uma mistura saturada. Podemos fazer isso usando a seguinte equação:

P C O 2 ,   g á s   = P - P v a p o r

A pressão de vapor ( P v a p o r ) é igual à pressão de saturação P s a t . Assim temos:

P C O 2 ,   g á s   = P - P s a t

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

P C O 2 ,   g á s   = 600   k P a - 1,96   k P a

P C O 2 ,   g á s   = 598,04   k P a

Passo 3

Agora, vamos encontrar a fração molar de C O 2 na bebida líquida usando a lei de Henry. Assim temos:

y C O 2 ,   l i q u i d o = P C O 2 ,   g á s   H

Substituindo os termos da equação, temos:

y C O 2 ,   l i q u i d o = 598,04   k P a 128000   k P a  

y C O 2 ,   l i q u i d o = 0,00467

Então a fração molar de água na bebida é determinada da seguinte forma:

y H 2 O ,   l i q u i d o = 1 - y C O 2 ,   l i q u i d o

Substituindo os termos da equação, temos:

y H 2 O ,   l i q u i d o = 1 - 0,00467

y H 2 O ,   l i q u i d o = 0,99533

Passo 4

Em que a massa molar aparente da bebida é dada pela seguinte relação:

M m = ∑ y i M i

Substituindo os termos da equação, temos:

M m = y H 2 O ,   l i q u i d o M H 2 O + y C O 2 M C O 2

M m = 0,99533 × 18.015   k g   /   k m o l + 0,00467 × 44,01   k g   /   k m o l

M m = 18,14   k g   /   k m o l

Passo 5

Podemos fazer relações de frações de massa e frações molares de uma mistura. Assim temos:

w i = m i m m = N i M i N m M m = y i M i M m

Com os dados obtidos anteriormente, podemos então calcular a fração mássica de C O 2 dissolvido na bebida da seguinte maneira:

w C O 2 ,   l i q u i d o = y C O 2 ,   l i q u i d o M C O 2 M m

Substituindo os termos da equação, temos:

w C O 2 ,   l i q u i d o = 0,00467 × 44,01   k g   /   k m o l 18,14   k g   /   k m o l

w C O 2 ,   l i q u i d o = 0,0113

Passo 6

Portanto, a massa de C O 2 dissolvido em uma bebida de 2   L ≈ 2   k g é:

m C O 2 = w C O 2 ,   l i q u i d o m m

Substituindo os termos da equação, temos:

m C O 2 = 0,0113 × 2   k g

m C O 2 = 0,0226   k g

Com a massa de C O 2 presente na bebida, o volume ocupado por esse C O 2 nas condições ambientes de 25 ℃ e 100   k P a pode ser obtido pela equação dos gases ideais. Assim temos:

V C O 2 = m R T P

Substituindo os termos da equação, temos:

V = 0,0226   k g × 0,1899   k P a ⋅ m 3 / k g ⋅ K × 298   K 100   k P a

V = 0,0127   m 3

V = 12,7   L

Portanto, o volume do recipiente para armazenar o C O 2 dissolvido na bebida é 12,7   L .

Resposta

V = 12,7   L

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