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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 119

Considere um elemento de combustível nuclear ( k = 57   W / m . K ) que pode ser modelado como uma parede plana com espessura de 4   c m . O elemento de combustível gera 3 × 10 7   W / m ³ de calor uniformemente. Ambas as superfícies laterais do elemento de combustível são resfriadas por um líquido a uma temperatura de 80 ℃ , e o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 8000   W / m ² K . Usando espaçamento nodal uniforme de 8   m m , (a) obtenha as equações de diferenças finitas, (b) determine as temperaturas nodais, resolvendo as equações, e (c) compare as temperaturas de superfície de ambos os lados do elemento combustível com a solução analítica.

Passo 1

Primeiramente, iremos assumir algumas considerações para simplificar o problema. São elas:

  • Transferência de calor através do elemento de combustível nuclear é permanente e unidimensional.
  • Propriedades térmicas são constantes.
  • Transferência de calor por radiação é desprezível.

De posse dessas características, podemos entender melhor o sistema com o qual a questão pretende trabalhar.

(a) O espaçamento nodal é dado no valor de ∆ x = 8   m m , então, o número de nós M é:

M = L ∆ x + 1 = 40   m m 8   m m + 1 = 6

Temos 6 temperaturas nodais desconhecidas, portanto precisaremos de 6 equações para determinar cada uma delas. A equação de diferenças finitas para o nó 0 na superfície esquerda, sujeita à convecção, é obtida pela aplicação do balanço de energia sobre o elemento de volume finito sobre o nó:

h T ∞ - T 0 + k T 1 - T 0 ∆ x + e ˙ 0 ∆ x 2 = 0 → T 1 - 1 + h k ∆ x T 0 + e ˙ 0 ∆ x 2 2 k + h k ∆ x T ∞ = 0

Os nós 1 ,   2 ,   3 e 4 são nós interiores, então podemos usar a relação geral de diferenças finitas, expressa como:

T m - 1 - 2 T m + T m + 1 ∆ x ² + e ˙ m k = 0 → T m - 1 - 2 T m + T m + 1 + e ˙ m k ∆ x 2 = 0

Assim como no nó 0 , o nó 5 é obtido pela aplicação do balanço de energia sobre o elemento de volume finito sobre o nó:

h T ∞ - T 5 + k T 4 - T 5 ∆ x + e ˙ 5 ∆ x 2 = 0 → T 4 - 1 + h k ∆ x T 5 + e ˙ 5 ∆ x 2 2 k + h k ∆ x T ∞ = 0

Então:

Nó 0 : T 1 - 1 + h k ∆ x T 0 + e ˙ 0 ∆ x 2 2 k + h k ∆ x T ∞ = 0

Nó 1 : T 0 - 2 T 1 + T 2 + e ˙ 1 k ∆ x 2 = 0

Nó 2 : T 1 - 2 T 2 + T 3 + e ˙ 2 k ∆ x 2 = 0

Nó 3 : T 2 - 2 T 3 + T 4 + e ˙ 3 k ∆ x 2 = 0

Nó 4 : T 3 - 2 T 4 + T 5 + e ˙ 4 k ∆ x 2 = 0

Nó 5 : T 4 - 1 + h k ∆ x T 5 + e ˙ 5 ∆ x 2 2 k + h k ∆ x T ∞ = 0

Passo 2

(b) As temperaturas nodais em condições permanentes são determinadas pela solução das 6 equações acima simultaneamente, utilizando um software capaz de resolver equações. Utilizando o EES, os códigos necessários para a resolução das equações é:

e_gen=3E7

h=8000

k=57

Dx=8E-3

T_inf=80

T_1-(1+h*Dx/k)*T_0+(Dx^2*e_gen)/(2*k)+(h*Dx/k)*T_inf=0

T_0-2*T_1+T_2+(e_gen/k)*Dx^2=0

T_1-2*T_2+T_3+(e_gen/k)*Dx^2=0

T_2-2*T_3+T_4+(e_gen/k)*Dx^2=0

T_3-2*T_4+T_5+(e_gen/k)*Dx^2=0

T_4-(1+h*Dx/k)*T_5+(Dx^2*e_gen)/(2*k)+(h*Dx/k)*T_inf=0

E as respostas obtidas são:

T 0 = 155 ℃

T 1 = 222 ℃

T 2 = 256 ℃

T 3 = 256 ℃

T 4 = 222 ℃

T 5 = 155 ℃

Passo 3

(c) Usando a solução analítica do capítulo 2, para uma parede plana de espessura 2 L com geração de calor, a temperatura das superfícies expostas à convecção pode ser determinada assim:

T s ,     p a r e d e   p l a n a = T ∞ + e ˙ g e r L h = 80 ℃ + ( 3 × 10 7   W / m 3 ) ( 0,02   m ) 8000   W / m ² K = 155 ℃   ( p a r a   a m b o s   o s   l a d o s )

Resposta

b T 0 = 155 ℃

T 1 = 222 ℃

T 2 = 256 ℃

T 3 = 256 ℃

T 4 = 222 ℃

T 5 = 155 ℃

c   T s ,     p a r e d e   p l a n a = 155 ℃

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