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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 101

Considere uma longa barra sólida ( k = 28 W m ∙ K   e α = 12 × 10 - 6 m 2 s )   de seção transversal quadrada, inicialmente a uma temperatura uniforme de 32   ° C . A seção transversal da barra é de   20   c m × 20   c m . O calor é gerado de forma uniforme a uma taxa de   e ˙ = 8 × 10 5 W m 3 . Todos os quatro lados da barra estão sujeitos à convecção para o ar ambiente a T ∞ = 30 ° C , com coeficiente de transferência de calor   h = 45 W m 2 ∙ K . Usando o método explícito de diferenças finitas com tamanho da malha de   ∆ x = ∆ y = 10   c m , determine a temperatura da linha central da barra ( a ) após 20   m i n e ( b ) depois de estabelecidas as condições permanentes.

Passo 1

Primeiramente anotando os dados do enuciado temos:

k = 28 W m ∙ K ;   = 12 × 10 - 6 m 2 s ;   e ˙ = 8 × 10 5 W m 3 ;   h = 45 W m 2 ∙ K ;   ∆ x = ∆ y = l = 10   c m ;   T ∞ = 30 ° C  

O balanço de energia para o método explícito pode ser formulado como:

∑ T o d o s   o s   l a d o s Q ˙ i + E ˙ e l e m e n t o i = ρ V e l m e n t o c p T m i + 1 - T m i ∆ t

E para nós onteriores temos que:

T n ó i + 1 = τ T e s q i + T s u p i + T d i r i + T i n f i + 1 - 4 τ T n ó i + τ e ˙ n ó i l 2 k      

Note que há uma simetria em nossa geometria fazendo com que T 1 = T 3 = T 7 = T 9 e T 2 = T 4 = T 6 = T 8 . Portanto precisamos apenas equacionar para o nós 1, 2 e 5.

Passo 2

Aplicando o balanço de energia..

N ó   1 :

h l T ∞ - T 1 i + k l 2 T 2 i - T 1 i l + k l 2 T 4 i - T 1 i l + e ˙ 0 l 2 4 = ρ l 2 4 c T 1 i + 1 - T 1 i ∆ t

N ó   2 :

h l 2 T ∞ - T 2 i + k l 2 T 1 i - T 2 i l + k l 2 T 5 i - T 2 i l + e ˙ 0 l 2 4 = ρ l 2 4 c T 2 i + 1 - T 2 i ∆ t

N ó   5 :

T 5 i + 1 = 1 - 4 τ T 5 i + τ ( 4 T 2 i + e ˙ 0 l 2 k )

Passo 3

Aplicando o critério de estabilidade para obtermos o passo de tempo ∆ t :

1 - 4 τ - 4 τ h l k ≥ 0

τ ≤ 1 4 1 + h ∆ x k

Note que...

τ = α ∆ t l 2

∆ t ≤ l 2 2 α 1 + h ∆ x k

Logo temos:

∆ t ≤ 0 , 1   m 2 4 1 2 × 10 - 6 m 2 s 1 + 45 W m 2 ∙ K 0 , 1   m 28 W m ∙ K = 1 79   s

Portanto deve ser escolhido um passo de tempo menor que 1 79   s . Sendo assim vamos escolher um passo de tempo de ∆ t = 60   s .

τ = α ∆ t ∆ x 2 = 12 × 10 - 6 m 2 s 60 s 0 , 1   m 2 = 0 , 072

Resposta

Resolvendo as equações com um auxílio de um computador em 20 min encontraremos a temperatura de 387,6 ° C atigindo o regime permanente após 6   h o r a s com a temperatura de 1023 ° C .

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