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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 104

Repita o Prob. 5–103 utilizando o método implícito com passo de tempo de 1 minuto.

Passo 1

Muito bem, anotando os dados do enunciado, teremos que:

k = 0,84 W m ∙ K ;   α = 0,39 × 10 - 6 m 2 s ; T i = T o = - 3 ° C ; h i = 6 W m 2 ∙ K  

h o = 20 W m 2 ∙ K ;   ∆ x = 0,2   c m   ;   ∆ y = 1   c m  

Analisando os nós do nosso problema, podemos ver que há uma simetria...

O balanço de energia para o método implícito pode ser expresso como:

∑ T o d o s   o s   l a d o s Q ˙ i + 1 + E ˙ e l e m e n t o i + 1 = ρ V e l e m e n t o c p T m i + 1 - T m i ∆ t

Passo 2

Agora podemos aplicar o balanço de energia nos 9 nós, devido a simetria...

N ó   1 :

h i ∆ y 2 T i - T 1 i + 1 + k ∆ x 2 T 4 i + 1 - T 1 i + 1 ∆ y + k ∆ y 2 T 2 i + 1 - T 1 i + 1 ∆ x = ρ c p ∆ x 2 ∆ y 2 T 1 i + 1 - T 1 i ∆ t

N ó   2 :

k ∆ y 2 T 1 i + 1 - T 2 i + 1 ∆ x + k ∆ y 2 T 3 i + 1 - T 2 i + 1 ∆ x + k ∆ x T 5 i + 1 - T 2 i + 1 ∆ y = ρ c p ∆ x ∆ y 2 T 2 i + 1 - T 2 i ∆ t

N ó   3 :

h o ∆ y 2 T o - T 3 i + 1 + k ∆ x 2 T 6 i + 1 - T 3 i + 1 ∆ y + k ∆ y 2 T 2 i + 1 - T 3 i + 1 ∆ x = ρ c p ∆ x 2 ∆ y 2 T 3 i + 1 - T 3 i ∆ t

N ó   4 :

h i ∆ y T i - T 4 i + 1 + k ∆ x 2 T 1 i + 1 - T 4 i + 1 ∆ y + k ∆ x 2 T 7 i + 1 - T 4 i + 1 ∆ x + k ∆ y T 5 i + 1 - T 4 i + 1 ∆ x = ρ c p ∆ y ∆ x 2 T 4 i + 1 - T 4 i ∆ t

N ó   5 :

k ∆ y T 4 i + 1 - T 5 i + 1 ∆ x + k ∆ y T 6 i + 1 - T 25 i + 1 ∆ x + k ∆ x T 8 i + 1 - T 5 i + 1 ∆ y + k ∆ x T 2 i - T 5 i ∆ y = ρ c p ∆ x ∆ y T 5 i + 1 - T 5 i ∆ t

N ó   6 :

h o ∆ y T i - T 6 i + 1 + k ∆ x 2 T 3 i + 1 - T 6 i + 1 ∆ y + k ∆ x 2 T 9 i + 1 - T 6 i + 1 ∆ y + k ∆ y T 5 i + 1 - T 6 i + 1 ∆ x = ρ c p ∆ y ∆ x 2 T 6 i + 1 - T 6 i ∆ t

N ó   7 :

12 ,   5   W   h i ∆ y 2 T i - T 7 i + 1 + k ∆ x 2 T 4 i + 1 - T 7 i + 1 ∆ y + k ∆ y 2 T 8 i + 1 - T 7 i + 1 ∆ x = ρ c p ∆ y 2   ∆ x 2 T 7 i + 1 - T 7 i ∆ t

N ó   8 :

k ∆ y 2 T 7 i + 1 - T 8 i + 1 ∆ x + k ∆ y 2 T 9 i + 1 - T 8 i + 1 ∆ x + k ∆ x T 5 i + 1 - T 8 i + 1 ∆ y = ρ c p ∆ y 2 ∆ x T 8 i + 1 - T 8 i ∆ t

N ó   9 :

h o ∆ y 2 T o - T 9 i + 1 + k ∆ x 2 T 6 i + 1 - T 9 i + 1 ∆ y + k ∆ y 2 T 8 i + 1 - T 9 i + 1 ∆ x = ρ c p ∆ y 2 ∆ x 2 T 9 i + 1 - T 9 i ∆ t

Resposta

Utilizando um passo de tempo de ∆ t = 1   m , podemos encontrar a distribuição de temperatura ao longo do vidro:

T 1 = - 0,73 ° C

T 2 = - 0,84 ° C

T 3 = - 0,98 ° C

T 4 = 0,68 ° C

T 5 = - 0,03 ° C

T 6 = - 2,0 ° C

T 7 = 36,0 ° C

T 8 = 32,0 ° C

T 9 = 29,2 ° C

Em regime permanente:

T 1 = - 0,69 ° C

T 2 = - 0,79 ° C

T 3 = - 0,93 ° C

T 4 = 0,71 ° C

T 5 = - 0,005 ° C

T 6 = - 2,0 ° C

T 7 = 36,1 ° C

T 8 = 32,0 ° C

T 9 = 29,2 ° C

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