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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 63

Considere uma transferência de calor permanente bidimensional em uma barra longa sólida k = 25 W m ∙ K de seção transversal quadrada 3   c m × 3   c m com temperaturas prescritas nas superfícies superior, inferior, direita, e esquerda de 100   ° C , 200   ° C , 300   ° C , e 500   ° C , respectivamente. Calor é gerado na barra uniformemente a taxa de e ˙ = 5 × 10 6 W m 3 . Usando tamanho de malha uniforme ∆ x = ∆ y = 1   c m , determine ( a ) equações de diferenças finitas e ( b ) temperaturas nodais com o método iterativo de Gauss-Seidel.

Passo 1

Note que temos 4 pontos nodais interiores a partir da imagem. Podemos usar nossa equação geral para diferenças finitas abaixo:

T m - 1 , n - 2 T m , n + T m + 1 ,   n ∆ x 2 + T m , n - 1 - 2 T m , n + T m ,   n + 1 ∆ y 2 + e ˙ m , n k = 0

Como ∆ x = ∆ y , podemos simplificar essa equação para ficar mais fácil de trabalhar, logo:

T m , n = 0,25 ( T m , n + 1 + T m - 1 , n + T m , n - 1 + T m + 1 , n + e ˙ m , n ∆ x 2 k )

O que podemos interpretar como:

T n ó = 0,25 T s u p + T e s q + T i n f + T d i r + e ˙ n ó ∆ x 2 k

Passo 2

Tendo nossa equação em mãos. Aplicando em cada nó eles ficaram...

N ó   1 :

T 1 = 0,25 100 + T 2 + T 3 + 500 e ˙ 1 ∆ x 2 k  

N ó   2 :

T 2 = 0,25 100 + 200 + T 4 + T 1 e ˙ 2 ∆ x 2 k  

N ó   3 :

T 3 = 0,25 T 1 + T 4 + 300 + 500 e ˙ 3 ∆ x 2 k  

N ó   4 :

T 4 = 0,25 T 2 + 200 + 300 + T 3 e ˙ 4 ∆ x 2 k  

Onde,

e ˙ n ó ∆ x 2 k = 20 ℃

Passo 3

Para utilizarmos o método iterativo Gauss-Seidel, precisamos iniciar as interações com um palpite.

Vamos supor que T 1 = 300 ° C , T 2 = 150 ° C , T 3 = 400 ° C e T 4 = 250 . Logo as interações seguem na tabela abaixo:

Portanto temos que as temperaturas nodais convergente são:

T 1 = 297,5 ° C

T 2 = 222,5 ° C

T 3 = 347,5 ° C

T 4 = 272,5 ° C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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