No Exemplo 8.3, deduzimos o perfil de velocidades para escoamento laminar sobre uma parede vertical usando um volume de controle diferencial. Em vez disso, seguindo o procedimento que nós usamos no Exemplo 5.9, deduza o perfil de velocidades partindo das equações de Navier-Stoker (Eqs. 5.27). Assegure-se de fazer todas as considerações necessárias para a dedução.

Beleza! Agora vem a parte das considerações, sabemos que nesse caso temos regime permanente, então podemos cancelar os termos dependentes do tempo das equações 2, 3 e 4. Temos também que o escoamento é incompressível, então . Agora, sabemos que não teremos nenhuma variação ou alteração na direção , de modo que o restante da sua equação 4, além do termo no tempo que já cancelamos, será zero. E também todos os outros termos nas equações 1, 2 e 3 que dependem de serão iguais a zero.

Agora, assumindo escoamento totalmente desenvolvido, não teremos nenhuma variação de propriedade na direção , com exceção da pressão, então todas as derivadas com relação a podem ser igualadas a zero. Podemos também desconsiderar as forças de campo na direção , de modo que . Então, até o momento, as equações se tornaram:

Agora, da primeira equação vimos que a derivada da velocidade em é igual a zero, desse modo, como é zero na superfície sólida, então, já que deve ser constante, ele é zero para todo o intervalo, desse modo, podemos zerar os termos que apresentam nas outras duas equações, e elas se tornam:

Através dessa última equação, temos que a pressão será constante ao longo da camada de fluido, no entanto, sabemos que na superfície, como ela está exposta ao ambiente, teremos , desse modo, é constante ao longo do fluido todo em qualquer direção, então teremos também:

E a equação restante na direção se torna:

Agora vamos integrar essa última expressão obtida em , então, teremos:

E, integrando novamente, temos:

Agora, para descobrir o valor das constantes e , vamos aplicar as condições de contorno, então, sabemos que na superfície de contato , teremos velocidade , e também que na superfície em contato com o ambiente não teremos força de cisalhamento, de modo que . Então, as condições de contorno são:

Então, da primeira condição, temos:

E, da segunda condição, temos:

Então, o perfil de velocidade será:

Colocando o termo em evidência para obter a equação no formato igual àquele obtido no Exemplo 8.3, então, teremos:

Pronto, isso é o que o exercício nos pediu para mostrar!