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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 212

Líquido escoando a alta velocidade em um largo canal horizontal aberto pode, sob certas condições, produzir um ressalto hidráulico conforme mostrado. Para um volume de controle convenientemente escolhido, os escoamentos entrando e saindo do ressalto podem ser considerados uniformes com distribuições hidrostáticas de pressão (veja o Exemplo 4.7). Considere um canal de largura w , com escoamento de água com D 1 = 0,6   m e V 1 = 5   m / s . Mostre que, em geral, D 2 = D 1 1 + 8 V 1 2 g D 1 - 1 2 .

Avalie a variação ne energia mecânica através do ressalto hidráulico. Se a transferência de calor para o meio ambiente for desprezível, determine a variação na temperatura da água através do ressalto.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento Uniforme;
  2. Escoamento Estacionário;
  3. Fluído Incompressível;
  4. Pressão Hidrostática nas Secções p = ρ g D - z ;
  5. Sem Troca de Calor ( Q = 0 ) ;
  6. Não há Trabalho;
  7. Sem Força de Campo Atuando.

Passo 2

Aplicando a equação da quantidade de movimento, e fazendo as considerações do Passo 1, temos:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

F S x = p 1 A 1 - p 2 A 2 = u 1 - ρ V 1 A 1 + u 2 ρ V 2 A 2

Sendo:

p = ρ g D 2 ;

A = w D ;

u 1 = V 1 ;

u 2 = V 1 .

Temos:

ρ g D 1 2 w D 1 - ρ g D 2 2 w D 2 = - V 1 2 ρ w D 1 + ( V 2 2 ρ w D 2 )

g 2 D 1 2 - D 2 2 = ( V 2 2 D 2 - V 1 2 D 1 )

Pela continuidade V 2 = V 1   D 1 D 2 :

g 2 D 1 2 - D 2 2 = V 1 2 D 1 2 D 2 - V 1 2 D 1

g 2 D 1 2 - D 2 2 = V 1 2 D 1 D 2   D 1   - D 2

g 2 D 1 + D 2 D 1   - D 2 = V 1 2 D 1 D 2   D 1   - D 2

g 2 D 1 + D 2 = V 1 2 D 1 D 2

g D 1 2 1 + D 2 D 1 = V 1 2 D 1 D 2

Isolando D 2 :

D 2 D 1 1 + D 2 D 1 = 2 V 1 2 g D 1

D 2 D 1 2 + D 2 D 1 - 2 V 1 2 g D 1 = 0

Aplicando Bhaskará:

D 2 D 1 = - 1 ± 1 2 + 8 V 1 2 g D 1 2

D 2 = D 1 2 1 + 8 V 1 2 g D 1 - 1

Passo 3

Avalie a variação ne energia mecânica através do ressalto hidráulico.

∆ E M = E M 2 - E M 1

E M = ∫ 0 D V 2 2 + g z + p v ρ   d ∀

E M = ∫ 0 D V 2 2 + g z + p v ρ V w   d z

Integrando, obtemos:

∆ E M = g D 2 + V 2 2 2 ρ V 2 w D 2 - g D 1 + V 1 2 2 ρ V 1 w D 1

Pela continuidade V 2 = V 1   D 1 D 2 :

∆ E M = g D 2 + V 2 2 2 ρ V 1 w D 1 - g D 1 + V 1 2 2 ρ V 1 w D 1

∆ E M = V 2 2 2 - V 1 2 2 + g D 2 - D 1 ρ V 1 w D 1

Sabemos que ρ V 1 w D 1 = m ˙ :

∆ E M = V 2 2 2 - V 1 2 2 + g D 2 - D 1 m ˙

∆ E M m ˙ = V 2 2 2 - V 1 2 2 + g D 2 - D 1

Passo 4

Voltando na equação obtida no Passo 2:

D 2 = D 1 2 1 - 8 V 1 1 g D 1 - 1

Sendo:

D 1 = 0,6   m ;

V 1 = 5   m / s ;

g = 9,8   m / s 2 .

Temos:

D 2 = 0,6 2 1 + 8 ⋅ 5 2 9,8 ⋅ 0,6 - 1 = 1,47   m

E

V 2 = V 1   D 1 D 2

V 2 = 5 ⋅   0,6 1,47 = 2,04   m / s

Passo 5

Resolvendo a equação do Passo 3:

∆ E M m ˙ = V 2 2 2 - V 1 2 2 + g D 2 - D 1

∆ E M m ˙ = 2,04 2 2 - 5 2 2 + 9,8 ⋅ 1,47 - 0,6 = - 1,89   N ⋅ m / k g

Passo 6

Determinando a variação na temperatura da água através do ressalto.

A equação da Primeira Lei da Termodinâmica se dá:

0 = ∫ S C u + V 2 2 + g z ρ V d A

Integrando:

u 1 + V 1 2 2 + g D 1 ⋅ - m ˙ 1 + u 2 + V 2 2 2 + g D 2 ⋅ m ˙ 2 = 0

Rearranjando e sabendo que m ˙ 1 = m ˙ 2 = m ˙

V 2 2 2 - V 1 2 2 + g D 2 - D 1 m ˙ + u 2 - u 1 ⋅ m ˙ = 0

∆ E M + u 2 - u 1 ⋅ m ˙ = 0

u 2 - u 1 = - ∆ E M m ˙

Sendo u = c p T :

c p T 2 - T 1 = - ∆ E M m ˙

∆ T = - ∆ E M m ˙ ⋅ c p

Sendo:

∆ E M m ˙ - 1,89   N ⋅ m / k g ;

c p = 4187   J / k g ⋅ K   .

Temos:

∆ T = - - 1,89 4187 = 4,5 x 10 - 4   K

Resposta

D 2 = D 1 2 1 + 8 V 1 2 g D 1 - 1

∆ E M m ˙ = - 1,89   N ⋅ m / k g

∆ T = 4,5 x 10 - 4   K

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