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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 175

O tanque móvel mostrado pode movimentar ao longo de uma pista horizontal com resistência desprezível. Ele deve ser acelerado do repouso por um jato líquido que se choca contra sua parede curva e é defletido para dentro do tanque. A massa inicial do tanque é m 0 . Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento para mostrar que, em qualquer instante, a massa do veículo mais a do líquido no seu interior é m = m o v / ( v - u ) . Obtenha uma expressão geral para u / v como uma função do tempo.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme;
  5. Força de corpo desprezível;
  6. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há resistência ne força de campo, então, F S x = F B x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- a r x ⋅ m = u 1 - ρ V A

Sendo:

u 1 = v - u .

Temos:

- a r x ⋅ m = v - u ⋅ [ ρ v - u A ]

Passo 3

Aplicando as equações da continuidade e da quantidade de movimento para mostrar que, em qualquer instante, a massa do veículo mais a do líquido no seu interior é m = m o v / ( v - u ) .

Temos que a r x = d u d t e ρ ( v - u ) A = d m d t , assim:

- m d u d t = ( v - u ) d m d t

m d u d t + ( v - u ) d m d t = 0

( v - u ) m = c o n s t a n t e

( v - u ) m = v m 0

m = v m 0 ( v - u )

Passo 4

Obtendo uma expressão geral para u / u 0 com uma função do tempo.

- m d u d t = v - u ⋅ ρ v - u A

Sendo m = v m 0 v - u :

- v m 0 ( v - u ) d u d t = v - u 2 ρ A

d u d t = - v - u 3 ρ A v m 0

d u v - u 3 = - ρ A v m 0 d t

∫ v v - u d u v - u 3 = - ρ A v m 0 ∫ 0 t d t

Integrando:

- 1 2 1 v - u 2 - 1 v 2 = - ρ A v m 0 t

1 ( v - u ) 2 - 1 v 2 = 2 ρ A t v m 0

Rearranjando:

( v - u ) 2 = v 2 + v m 0 2 ρ A t

( v - u ) 2 = v 2 1 + m 0 2 v ρ A t

v - u = v 1 + m 0 2 v ρ A t

u = v - v 1 + m 0 2 v ρ A t

u = v 1 - 1 + m 0 2 u 0 ρ A t

u v = 1 - 1 + m 0 2 u 0 ρ A t

Resposta

m = v m 0 v - u

u v = 1 - 1 + m 0 2 u 0 ρ A t

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