Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 15
Quando um objeto se move em velocidades supersônicas, a força de arrasto aerodinâmico F que atua sobre o objeto é uma função da velocidade V, da massa específica do ar ρ, do tamanho do objeto (caracterizado por alguma área de referência A), e da velocidade do som c (note que todas as variáveis com exceção de c foram consideradas quando o objeto se movia a velocidades subsônicas como no Problema 7.11). Desenvolva uma relação funcional entre um conjunto de variáveis adimensionais para descrever este problema.
Passo 1
Vamos nessa! O problema fala sobre a força de arrasto, quando um objeto se move em velocidades supersônicas, ou seja, com velocidade maior que a velocidade do som!
E o problema também já traz pra a gente em função de que varia, esses vão ser nossos parâmetros relevantes:
Isso da pra a gente parâmetros relevantes!
Para achar a forma adimensional que o problema esta pedindo, a gente vai usar o Teorema Pi e a gente só tem que seguir nosso passo a passo!
Passo 2
Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro! Para isso vamos usar o conjunto de dimensões fundamentais , mas você pode usar o e no final o resultado tem que dar o mesmo!
A gente usou as dimensões e , então:
Passo 3
Como vimos que temos que selecionar parâmetros dentro dos nossos parâmetros relevantes, que vão ser os parâmetros repetidos.
Relembando nossos parâmetros relevantes:
é o parâmetro dependente, então a gente já exclui ele!
e c tem a mesma dimensão, então só podemos escolher um deles, eu vou escolher o .
Sobra então e ! O nosso conjunto de parâmetros repetidos ficou:
Passo 4
A gente tem:
E:
Então ficamos com:
Logo vamos achar dois grupos , então mãos a obra!!
Passo 5
Agora sim, vamos encontrar o nosso primeiro grupo !!
Começando com o , onde vamos usar o:
Escrevendo suas dimensões básicas:
Agora equacionando:
Massa:
Comprimento:
Tempo:
Logo:
Substituindo , e , temos:
Organizando:
Passo 6
Agora vamos achar , combinando as nossas variáveis repetidas com :
Escrevendo suas dimensões básicas:
Equacionando:
Massa:
Comprimento:
Tempo:
Logo:
Substituindo:
Passo 7
Agora vamos relacionar esses dois grupos :
O é o grupo adimensional dependente, porque nele usamos que é o parâmetro dependente, então temos:
Que é o mesmo que:
Isolando:
Uhuuuul!!!