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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 39

Uma parede plana com temperatura de superfície de 350 ° C está com aletas retas retangulares fixadas a k = 235 W m ∙ K . As aletas estão expostas à condição do ar ambiente de 25 ° C , e o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 154 W m 2 ∙ K . Cada aleta tem comprimento de 50   m m , base de 5   m m de espessura e largura de 100   m m . Para apenas uma aleta, usando espaçamento nodal uniforme de 10   m m , determine ( a ) as equações de diferenças finitas, ( b ) as temperaturas nodais, resolvendo as equações de diferenças finitas, e ( c ) a taxa de transferência de calor e compare o resultado com a solução analítica.

Passo 1

Anotando os dados do enunciado:

∆ x = 10   m m ; k = 235 W m ∙ K ; T ∞ = 2 5 ° C ,   T 0 = 350 ° C ,   h = 154 W m 2 ∙ K ; t = 5   m m ; L = 50   m m ; w = 100   m m  

Agora podemos calcular o número de nós para o nosso problema.

M = L ∆ x + 1 = 50   m m 10   m m + 1 = 6

Muito bem!! Note que nosso nó 0 é referente a T 0 = 350 ° C , logo...

Bom, a partir da representação podemos usar nossa equação geral de diferenças finitas para se obter uma expressão para os nós interiores 1, 2, 3 e 4.

k A T m - 1 - T m ∆ x + k A T m + 1 - T m ∆ x + h p ∆ x T ∞ - T m = 0

T m - 1 - 2 + h p ∆ x 2 k A T m + T m + 1 + h p ∆ x 2 k A T ∞ = 0

Sendo uma aleta de seção retangular, logo...

h p ∆ x 2 k A = h 2 t + 2 w ∆ x 2 k ( w t ) = 154 W m 2 ∙ K 2 0,005   m + 0,1   m 0,01 2 235 W m ∙ K ( 0,005   m ) ( 0,1   m ) = 0,0275

Passo 2

Para o nosso nó 5, note que se refere a ponta da aleta e aplicando o balanço de energia podemos chegar na seguinte equação:

k A T 4 - T 5 ∆ x + h p ∆ x 2 + A T ∞ - T 5 = 0

T 4 - 1 + h ∆ x k A p ∆ x 2 + A T 5 + h ∆ x k A p ∆ x 2 + A T ∞ = 0

Onde,

h ∆ x k A p ∆ x 2 + A = [ t + w ∆ x w t + 1 ] = 0 , 0203

Passo 3

Obtido as equações, podemos encontrar a equação apara cada nó.

Para o n ó   1 :

T 0 - 2,0275 T 1 + T 2 + 0 , 0275 T ∞ = 0

Para o n ó   2 :

T 1 - 2,0275 T 2 + T 3 + 0,0275 T ∞ = 0

Para o n ó   3 :

T 2 - 2,0275 T 3 + T 4 + 0,0275 T ∞ = 0

Para o n ó   4 :

T 3 - 2,0275 T 4 + T 5 + 0,0275 T ∞ = 0

Para o n ó   5 :

T 4 - 1,0203 T 5 + 0,02 03 T ∞ = 0

Passo 4

Resolvendo as equações simultaneamente, nos encontramos as seguintes temperaturas:

T 1 = 316,6 ° C

T 2 = 291,2 ° C

T 3 = 273,2 ° C

T 4 = 261,9 ° C

T 5 = 257,2 ° C

Passo 5

Para encontrarmos a taxa de transferência de calor, podemos utilizar a equação abaixo:

Q ˙ a l e t a = ∑ m = 0 5 Q ˙ e l e m e n t o , m = ∑ m = 0 5 h A s u p e r f í c i e ,   m T m - T ∞

Q ˙ a l e t a = h p ∆ x 2 T 0 - T ∞ + h p ∆ x T 1 + T 2 + T 3 + T 4 - 4 T ∞ + h p ∆ x 2 + A ( T 5 - T ∞ )

Q ˙ a l e t a = 445   W

A solução analítica é dada pela equação de transferência de calor para aletas retangulares convectivas. Que pode ser expressada como:

  Q ˙ a l e t a = η a l e t a h A a l e t a T b - T ∞

m = 2 h k t = 16,19   m - 1

L c = L + t 2 = 0,0525   m

A a l e t a = 2 w L c = 0,0105   m 2

E por fim... a eficiência o termo que nós damos a eficiência da aleta:

η a l e t a = tanh ⁡ m L c m L c = 0,813

Passo 6

Substituindo os valores...

Q ˙ a l e t a = 0,813 154 W m 2 ∙ K 0,0105 m 2 350 - 25 ° C

Q ˙ a l e t a = 427

Analisando nosso valor com o encontrado anteriormente, vemos claramente uma pequena discrepância. Podemos aumentar o número de nós para uma melhor aproximação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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