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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 51

Considere uma transferência de calor permanente bidimensional em uma seção transversal quadrada ( 3   c m   ×   3   c m )   com temperaturas prescritas nas superfícies superior, inferior, direita e esquerda de 100   ° C , 200   ° C , 300   ° C e 500   ° C , respectivamente. Usando uma malha uniforme ∆ x = ∆ y , determine ( a ) as equações de diferença finita e ( b ) temperaturas nodais usando o método iterativo Gauss-Seidel.

Passo 1

Note que temos 4 pontos nodais interiores a partir da imagem. Podemos usar nossa equação geral para diferenças finitas abaixo:

T m - 1 , n - 2 T m , n + T m + 1 ,   n ∆ x 2 + T m , n - 1 - 2 T m , n + T m ,   n + 1 ∆ y 2 = 0

Como ∆ x = ∆ y , podemos simplificar essa equação para ficar mais fácil de trabalhar, logo:

T m , n = 0,25 ( T m , n + 1 + T m - 1 , n + T m , n - 1 + T m + 1 , n )

O que podemos interpretar como:

T n ó = 0,25 T s u p + T e s q + T i n f + T d i r

Passo 2

Tendo nossa equação em mãos. Aplicando em cada nó eles ficaram...

N ó   1 :

T 1 = 0,25 100 + T 2 + T 3 + 500  

N ó   2 :

T 2 = 0,25 100 + 200 + T 4 + T 1  

N ó   3 :

T 3 = 0,25 T 1 + T 4 + 300 + 500  

N ó   4 :

T 4 = 0,25 T 2 + 200 + 300 + T 3  

Passo 3

Para utilizarmos o método iterativo Gauss-Seidel, precisamos iniciar as interações com um palpite.

Vamos supor que T 1 = 300 ° C , T 2 = 150 ° C , T 3 = 400 ° C e T 4 = 250 . Logo as interações seguem na tabela abaixo:

Portanto temos que as temperaturas nodais convergente são:

T 1 = 287,5 ° C

T 2 = 212,5 ° C

T 3 = 337,5 ° C

T 4 = 262,5 ° C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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