21 – A partir do balanço de energia um elemento de volume de casca cilíndrica, derive a equação de condução de calor unidimensional permanente para um longo cilindro com condutividade térmica constante, no qual o calor é gerado a uma taxa

Considerações:

1) Unidimensional

2) estado estacionário

3) Condutividade térmica constante

4) Com geração interna de calor

Expresse a área do cilindro normal à direção da transferência de calor em qualquer local .

Aqui, é o comprimento do cilindro,  é o raio do cilindro.

Como a área de transferência de calor  depende de  neste caso, então, o calor varia com o local.

Aplique o balanço energético a este elemento cilíndrico fino de espessura durante um pequeno intervalo de tempo .

Aqui, é a transferência de calor, é a geração interna de calor e é a energia interna.

Escreva a mudança na energia interna usando a expressão:

Aqui, é a densidade, é o calor específico do material, é o volume.

Vamos agora, substituir os valores conhecidos no balanço energético,

Dividindo os dois lados por temos:

Tomando os limites como e . Vamos dividir e resolver cada parte;

E a segunda parte,

Juntando as duas partes, temos que a equação (1) se torna

Substituindo

Aqui a propriedade é a difusividade térmica do material.

Portanto, a equação unidimensional de condução de calor com condutividade térmica constante e geração interna de calor no cilindro é