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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 53

Reconsidere o balão discutido no Prob. 14-52. Supondo que o volume permaneça constante e desconsiderando a difusão de ar dentro do balão, obtenha uma relação para a variação da pressão no balão com o tempo. Usando os resultados obtidos e os valores numéricos dados no problema, determine quanto tempo levará para que a pressão dentro do balão caia para 100 kPa.

Passo 1

E aí, coleguinha ! Como vocês estão hoje?

Eu espero que ótimooos!!!

Vamos continuar?

Bom, a primeira coisa que precisamos descobrir a relação entre a pressão e o tempo, não é?

Vocês tem que botar fé em mim que a melhor equação que nós temos para usar aqui é a de gases ideais:

P V = N R H e T

Já sabemos que a pressão será dada por P, o volume V, a constante para o gás hélio R H e , a temperatura T e o número de mols N.

Tranquilo?

Vamos isolar o número de mols, mais pra frente vocês vão entender porque:

N = P V R H e T

Se o número de mols varia, a pressão também irá variar com o tempo. Se sabemos disso podemos diferenciar a função que acabamos de achar em função dele:

d N d t = V R H e T d P d t

Reorganizando:

d P d t = R H e T V d N d t

Se vocês pensarem bem d N d t é a variação do número de mols pelo tempo, ou seja, representa a vazão molar do gás hélio atraves do balão:

d N d t = - N d i f u s ã o ,   H e ˙ = - P b o r r a c h a - H e A .   P H e ,   1 - P H e , 2 L

Como a pressão do lado externo será zero:

d N d t = - N d i f u s ã o ,   H e ˙ = - P b o r r a c h a - H e A .   P H e L

Passo 2

A relação que acabamos de achar no Passo 1 nós podemos colocar na diferencial:

d P d t = R H e T V - P b o r r a c h a - H e A .   P H e L

Reorganizando para ficar melhor:

d P P H e = - R H e T P b o r r a c h a - H e A V L d t

Agora nós vamos aplicar a integral, ok?

ln ⁡ P H e | P f P 0 = - R H e T P b o r r a c h a - H e A V L × t | t f 0

Aplicando o intervalo:

ln ⁡ P f P 0 = - R H e T P b o r r a c h a - H e A V L × t f

Tirando a pressão do ln:

P f P 0 = e - R H e T P b o r r a c h a - H e A t f V L

P f = P 0 . e - R H e T P b o r r a c h a - H e A t f V L

Então é isso aí!! Acabamos de achar a relação entre a pressão e o tempo!! Bem legal, não foi?

Passo 3

Agora nós precisamos levar os dados do problema anterior em consideração, certo?

Vamos ver o que temos:

L = 0,2   m m = 0,0002   m

A = π d 2 = π ( 0,15   m ) 2 = 0,0707   m ²

P b o r r a c h a - H e = 9,4 × 10 - 13   k m o l m .   s · b a r

R = 0,08314 b a r . m 3 k m o l . K

T = 25 ° C + 273 = 298   K

V = 4 3 π d 2 ³ = 4 3 π 0,15   m 2 ³ = 0,00177   m ³

E das pressões? O que sabemos?

P 0 = 120   k P a × 1   b a r 100   k P a = 1,2   b a r

P f = 10 0   k P a × 1   b a r 100   k P a = 1 , 0   b a r

Agora é só substituir tudo isso na relação que achamos:

1,0   b a r = 1,2   b a r . e - 0,08314 b a r . m 3 k m o l . K 298   K 9,4 × 10 - 13   k m o l m .   s · b a r 0,0707   m ² t f 0,00177   m ³ 0,0002   m

- 0,1823 = - 4,65 × 10 - 6   t f

t f = 39198,34   s

Em horas:

t f = 39198,34   s × 1   h 3600   s = 10,9   h

Então para nós diminuirmos a pressão de 120 kPa até 100 kPa isso levará 10,9 horas, aproximadamente!

Tranquilinha?

Resposta

10,9   h

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