Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 66
Um tanque de 3 m de diâmetro está inicialmente cheio com água até 2 m acima do centro de um orifício com diâmetro de 10 cm e aresta viva. A superfície da água do tanque é aberta para a atmosfera e o orifício drena para a atmosfera através de um tubo com 100 m de comprimento. O coeficiente de atrito do tubo pode ser considerado corno 0,015 e o efeito do fator de correção da energia cinética pode ser desprezado. Determine (a) a velocidade inicial na saída do tanque e (b) o tempo necessário para esvaziar o tanque.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Primeiramente, para o problema, assumimos que:
1. O fluxo é uniforme e incompressível.
2. O tubo de drenagem é horizontal.
3. O fluxo é turbulento para que o valor tabulado do coeficiente de perda pode ser usado.
4. O fator de atrito permanece constante (na realidade, muda desde que o velocidade de fluxo e, portanto, o número de Reynolds muda).
5. O efeito do fator de correção da energia cinética é desprezível, portanto definimos α = 1.
O coeficiente de perda é para uma entrada com arestas vivas. (Tabela 8-4). E o enunciado informa que o fator de atrito .
O esboço do problema pode ser mostrado como:
Passo 2
Tomamos o ponto 1 na superfície livre do tanque e o ponto 2 na saída do orifício.
Para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga:
Também tomamos o nível de referência na linha central do orifício () e assumimos a direção positiva de z para cima. Observando que o fluido em ambos os pontos é aberto para a atmosfera (e, portanto, ) e que a velocidade do fluido na superfície livre é muito baixa (), a equação de energia (Eq. 1) para um volume de controle entre esses dois pontos simplifica a:
E sabendo que a perda de carga total, agora, é definido pela soma da perda de carga maior e a perda de carga menor, assim:
Letra a) Assim, substituindo a eq. 3 em 2:
Onde . E inicialmente quando , a velocidade é:
Passo 3
Bem temos que a velocidade média de descarga através do orifício a qualquer momento, em geral, pode ser expressa como:
Onde z é a altura da água em relação ao centro do orifício naquele momento.
Denotamos o diâmetro do orifício por e o diâmetro do tanque por . A vazão da água do tanque pode ser obtida multiplicando a velocidade de descarga pela área do orifício:
Então a quantidade de água que flui através do orifício durante um intervalo de tempo diferencial é:
Que, pela conservação de massa, deve ser igual à diminuição do volume de água no tanque. Então:
Onde é a mudança no nível da água no tanque durante . (Observe que é uma quantidade negativa, pois o valor positivo direção de z é para cima. Portanto, usamos para obter uma quantidade positiva para a quantidade de água descarregada).
Passo 4
Letra b) Podemos começar a perceber então que é possível relacionar a altura em razão do tempo decorrido, substituindo a eq. 5 na equação 4:
A última relação pode ser integrada facilmente, pois as variáveis são separadas. Permitindo que seja o tempo de descarga e integrando-o de quando a quando (tanque completamente drenado). Assim:
Resolvendo a integral, chegamos a:
Por fim, podemos substituir os valores afim de encontrar o tempo necessário para esvaziar o tanque:
Resposta
Portanto:
Letra a)
Letra b)