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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 42

Um tanque esférico de diâmetro D = 2 m, termicamente isolado, contém ar, e é usado em uma instalação de purga (blowdown). Inicialmente, o tanque é pressurizado até 2,75 MPa (abs) a 450 K. A vazão mássica do ar do tanque é uma função do tempo; durante os primeiros 30 segundos de purga, 30 kg de ar deixam o tanque. Determine a temperatura do ar no tanque após 30 s de descarga. Estime a área da garganta do bocal.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Do problema, sabemos que:

P 1 = 2,75   M P a               T 1 = 450   K                 D = 2 m                 Δ m = 30   k g           Δ t = 30   s      

Obs: Propriedades do ar: R = 286,9   J K g K   ; k = 1 , 4   .

Para verificar se o fluxo é bloqueado deve ser obedecido que: P b P 0 < 0,528

Então:

101   k P a 2750   k P a = 0 , 037     →     0 , 037 < 0,528

Portanto, o fluxo é bloqueado ( M = 1 ) .

Passo 2

Bem, analisemos primeiramente o estado inicial:

O ρ 1 pode ser encontrado pela relação:

P 1 = ρ 1 R T 1 → ρ 1 = P 1 R T 1 = 2,75 * 10 6 286,9 * 450         →   ρ e = 2 1,3   k g m 3

E para encontrar a massa no estado inicial, podemos:

m 1 = ρ 1 V 1

Onde V 1 é o volume do tanque esférico.

V 1 = π D ³ 6 = π * 2 ³ 6 = 4,19   m ³

Assim:

m 1 = 21,3 * 4,19         →     m 1 = 89,2   k g

E como Δ m = 30   k g , podemos encontrar a massa final:

m 2 = m 1 - Δ m = 89,2 - 30             → m 2 = 59,2   k g

E

m 2 = ρ 2 V 2     → ρ 2 = m 2 V                 → ρ 2 = 14,1 k g m 3        

Passo 3

Para um processo isentrópico, podemos utilizar a seguinte expressão:

P P k = c t e

Ou

P 2 = P 1 ρ 2 ρ 1 k = 2,75 * 10 6 14,1 21,3 1,4     → P 2 = 1,54   M P a

Para encontrarmos a temperatura final, para um processo isentrópico:

T 2 = P 2 ρ 2 R = 1,54 * 10 6 14,1 * 286,9       →       T 2 = 382   K

Passo 4

Para estimar a área da garganta, podemos usar:

Δ m Δ t = m m e d = ρ m e d A t V m e d         → A t = Δ m ρ m e d * Δ t * V m e d

Precisamos agora, descobrir os valores médios de densidade e velocidade.

Inicialmente, a temperatura e pressão de estagnação médias:

T 0 m e d = T 1 + T 2 2 = 416   K

E

P 0 m e d = P 1 + P 2 2 = 2,15   M P a

Assim, a temperatura e pressão críticas médias são:

T e m e d = T 0 m e d 1 + k - 1 2 M 2 = 416 1 + 1,4 - 1 2 1 2 = 347   K  

E

P e m e d = P 0 m e d 1 + k - 1 2 M 2 k k - 1 = 2,15 * 10 6 1 + 1,4 - 1 2 1 2 1,4 1,4 - 1         →       P e m e d = 1,14   M P a

Então, podemos calcular a velocidade média e densidade:

V e m e d = 1 * 1,4 * 286,9 * 347     → V e m e d = 37 3   m s

E

ρ m e d = P m e d R T m e d = 2 , 1 5 * 10 6 286,9 * 347         →   ρ e m e d = 11,4   k g m 3

Enfim, a área da garganta é:

A t = 30 11,4 * 30 * 373         → A t = 2,35 * 10 - 4   m ²

Resposta

Portanto:

T 2 = 382   K

A t = 2,35 * 10 - 4   m ²

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