Equações de Maxwell

Para entender a magia das Equações de Maxwell, temos que ter em mente essa imagem:

Ela é o resultando mais importante sobre a interação entre o Campo Elétrico e o Campo Magnético

Veja que o Campo Elétrico e o Campo Magnético sempre formam entre si :

Veja que se o Campo Elétrico aponta na direção do eixo , o Campo Magnético aponta na direção do eixo , enquanto os eixos e formam entre si.

Quando o Campo Elétrico aponta na direção negativa do eixo , o Campo Magnético aponta na direção negativa do eixo , então continua formando entre si.

Logo a primeira afirmativa está correta!

Veja na figura, que o Campo Elétrico sempre está sob o eixo , em alguns momentos na direção positiva do eixo e em outras na direção negativa. Enquanto o Campo Magnético está sempre sob o eixo , em alguns momentos na direção positiva do eixo e em outras na direção negativa.

E ao mesmo tempo vemos que esse movimento se repete ao longo do eixo , logo percebemos que a onda eletromagnética que se propaga pelo eixo , nada mais é do que o produto vetorial entre os vetores e :

Então a alternativa “b” está correta!

Consegue ver a letra no desenho:

Ela representa a velocidade da luz e mostra que a onda eletromagnética no vácuo de propaga na mesma velocidade. Ou seja, essa alternativa também está correta!

A alternativa “c” diz:

“O vetor Campo Elétrico e o vetor Campo Magnético não estão em fase.”

O que isso significaria? Que existe um atraso entre as curvas do Campo Elétrico e do Campo Magnético. Mas isso é verdade?

Olhando para o desenho, vemos que onde começa o Campo elétrico é igual onde começa o Campo Magnético:

Logo, elas estão em fase! E a alternativa está INCORRETA!

Vamos relembrar a imagem de uma onda eletromagnética como a luz:

Ela é o resultando mais importante sobre a interação entre o Campo Elétrico e o Campo Magnético

A primeira coisa que podemos perceber é que a onda é formada pelo campo elétrico e pelo campo magnético interagindo!

A segunda característica que observamos é que entre os campos, sempre temos o ângulo de :

Veja que se o Campo Elétrico aponta na direção do eixo , o Campo Magnético aponta na direção do eixo , enquanto os eixos e formam entre si.

Quando o Campo Elétrico aponta na direção negativa do eixo , o Campo Magnético aponta na direção negativa do eixo , então continua formando entre si.

Ou seja, o Campo Elétrico e o Campo Magnético são PERPENDICULARES entre si!

A terceira e última característica é sobre a direção da propagação da onda, veja na figura, que o Campo Elétrico sempre está sob o eixo , em alguns momentos na direção positiva do eixo e em outras na direção negativa. Enquanto o Campo Magnético está sempre sob o eixo , em alguns momentos na direção positiva do eixo e em outras na direção negativa.

E ao mesmo tempo vemos que esse movimento se repete ao longo do eixo , logo percebemos que a onda eletromagnética que se propaga pelo eixo , ou seja, uma direção que forma com a direção do Campo Elétrico e a direção do Campo Magnético!

Ou seja, a direção da propagação da luz é perpendicular às direções dos campos elétrico e magnético!

Bom pessoal, para essa questão, vamos analisar cada uma das opções e pensar no que elas estão certas e erradas!

Começando pela primeira afirmativa “a”:

“As Equações de Maxwell não fornecem a velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo, que demonstrou-se posteriormente serem variáveis.”

Lembra que já falamos que as Equações de Maxwell determinaram que as ondas eletromagnéticas no vácuo viajam na velocidade da luz? Essa velocidade é única e vale:

Veja que ela não é variável, logo a afirmativa está incorreta!

E já é a nossa resposta que procuramos!

Todas as demais alternativas são muito diretas e são verdadeiras! Vendo cada uma delas:

“Os fenômenos elétricos e magnéticos estão correlacionados através de uma teoria chamada de eletromagnetismo.”

Isso até é uma aula de português, se dividirmos a palavra “eletromagnetismo” em duas, a parta “eletro” vem explicar os fenômenos elétricos, enquanto a parte “magnetismo” dá conta de explicar a parte dos fenômenos magnéticos. Logo o eletromagnetismo explica a relação entre os fenômenos elétricos e magnéticos.

A terceira afirmativa diz:

“Obtém-se experimentalmente que quando um campo elétrico varia, gera um campo magnético.”

Sabemos isso através daquela imagem sobre a onda eletromagnética que mostra a variação do campo elétrico causando variação do campo magnético, enquanto a variação do campo magnético gera variação do campo magnético e dessa forma a onda se propaga.

A penúltima afirmativa diz:

“As Equações de Maxwell correlacionam as leis de Ampère, Faraday, Lenz e Gauss em um único grupo de equações.”

Sim, são todas essas afirmativas que formam as Equações de Maxwell, vou lista-las aqui:

Por último, temos a afirmativa:

“A Lei de Faraday preconiza que quando um campo magnético varia, há o surgimento de um campo elétrico.”

A Lei de Faraday é dada pela equação:

Onde a parcela da variação do campo magnético:

Gera um campo elétrico em uma curva fechada:

Ou seja, essa afirmativa também é verdadeira!

Temos então que apenas a primeira afirmativa era incorreta!

Para começar, temos que explicar uma diferença básica entre ondas eletromagnéticas e ondas mecânicas.

As ondas eletromagnéticas são ondas que não dependem do meio para se propagarem, ou seja, elas se propagam no vácuo na velocidade da luz como foi visto após as Equações de Maxwell.

Por outro lado, temos as ondas mecânicas que dependem do meio para se propagarem, por exemplo, o som é uma onda mecânica, então no vácuo, ele não consegue se propagar. Pensa no espaço, os astronautas se comunicam por rádio, pois se gritassem de um pro outro, eles não escutariam nadinha, o espaço tem vácuo, por isso a onda mecânica como o som não se propaga!

Logo, a única onda dentre as nossas opções que não se propaga no vácuo é o som, pois se trata de uma onda mecânica. E essa é a nossa resposta.

Vamos ler cada uma das afirmativas e pensar sobre elas. A afirmativa I diz:

“Uma corrente elétrica atravessando um fio não gera um campo magnético ao seu redor, afinal fenômenos elétricos e fenômenos magnéticos respeitam leis da física diferentes."

A segunda afirmativa dá:

“É possível gerar uma corrente elétrica em um anel de cobre utilizando somente um imã.”

Vamos lembrar que quando aproximamos um imã e afastamos criamos uma corrente elétrica em uma espira que é percebida por um amperímetro. Esse foi um dos primeiros experimentos que demonstrou a indução magnética, então a alternativa está correta!

A última afirmativa diz:

“Utilizando componentes elétricos e magnéticos, é possível transformar, de maneira eficiente energia elétrica em energia mecânica e vice versa.”

Gente, você lembra do motor elétrico? A base de funcionamento é alimentar o motor com energia elétrica e entregar na ponta do eixo através da rotação, uma energia mecânica. Enquanto pensando em geradores de energia elétrica, como das usinas hidrelétricas, temos a transformação da energia mecânica de rotação em energia elétrica que alimenta as nossas casas.

Então sim, utilizando os componentes elétricos e magnéticos é possível transformar energia elétrica em energia mecânica e energia mecânica em energia elétrica!

Logo, temos que a primeira alternativa é falsa, enquanto as duas outras alternativas estão corretas!

A Lei de Gauss para o magnetismo é representada pela equação:

Isso significa que o fluxo magnético em uma superfície fechada será sempre zero, pois todas as linhas de campo magnético saem do polo positivo e se dirigem ao polo negativo do mesmo imã, ou seja, nenhuma linha sai da superfície fechada para encontrar um polo do lado de fora, os dois polos estão dentro da mesma superfície fechada.

Isso prova que não existe monopolos magnéticos, sempre temos os dois polos magnéticos dentro da mesma superfície.

Aqui precisamos ter em mente que a teoria eletromagnética diz que um campo magnético variável no tempo gera um campo elétrico:

e também que que um campo elétrico variável no tempo produz um campo magnético :

O potencial dependente do tempo envia cargas que vão se acumulando sobre as placas do capacitor e, por essa razão, a carga do capacitor varia no tempo também. Consequentemente, o campo elétrico produzido por essas cargas e que está dentro das placas também depende do tempo:

Se o campo elétrico é variável e alterna no tempo na região entre as placas, então o fluxo de campo elétrico varia no tempo:

Então, também haverá um campo magnético na região onde está o ponto que irá variar no tempo:

Através da equação:

Maxwell foi um cientista que percebeu a relação entre as leis de Ampère, Faraday, Lenz e Gauss e as agrupou em uma única teoria, o eletromagnetismo. Por isso, o grupo de equações recebe o nome de: Equações de Maxwell .

Uma forma de aplicação das Equações de Maxwell é a turbina de geração de energia elétrica, onde utilizamos materiais ferromagnéticos para transformar a energia mecânica em energia elétrica.

Vamos começar relembrando a Lei Ampère- Maxwell:

Se pensarmos em um caminho fechado em torno de uma das placas do capacitor de placa circular, podemos fazer uma curva de mesmo raio que a placa:

Logo o caminho da superfície dependerá do raio da placa do capacitor:

Integrando o campo magnético nessa superfície será o produto entre o campo magnético e a integral do raio:

Vamos pensar em módulos, pois foi isso que foi dado no enunciado, beleza? Então nossa equação se tornou:

Pense comigo, entre duas placas de um capacitor, não existe corrente elétrica, pois não é ligação física, porém ocorre passagem de fluxo elétrico, logo:

Então a equação fica da forma:

O fluxo de campo elétrico nada mais é do que o campo elétrico dividido pela área da placa:

Em um capacitor de placa circular, a área será a área do círculo, que é igual a:

Substituindo na equação do fluxo elétrico:

Nossa equação fica da seguinte forma então:

Como o que varia no tempo é apenas o campo elétrico e não o raio , podemos retirar da derivada:

Vamos organizar essa igualdade que parece um pouco bagunçada:

Primeiro, vamos ver que esse produto pela fração, teremos:

Como temos dos dois lados da igualdade, podemos cortar esse valor em ambos os lados:

Sabemos que:

Então:

Como temos dos dois lados da equação, podemos cortar de cada lado da igualdade:

Vamos substituir os valores que foram dados no enunciado:

Nossa equação:

Com os valores se torna:

Como apenas não sabemos o raio , vamos passar tudo que multiplica para o outro lado:

Vamos realizar as multiplicações no numerador e no denominador:

Substituindo na equação:

Como temos multiplicando no numerador e no denominador, podemos cortar:

O produto entre potências de mesma base, mantemos a base a somamos os expoentes:

Sabemos que qualquer número elevado a zero é igual a :

Logo a igualdade se torna:

Dividindo por temos o raio :

Não podemos esquecer que o raio é dado em metros!

Vamos começar pela relação entre a velocidade e a permissividade elétrica e permeabilidade magnética é:

Onde o e são os de um meio qualquer.

Se estivermos interessados no vácuo, temos que a velocidade da onda eletromagnética é igual a velocidade da luz , enquanto substituímos pelos valores fixos da permissividade elétrica do vácuoe permeabilidade magnética do vácuo :

Ou seja,

Substituindo os dados do enunciado:

Na equação:

Ficamos com:

Como temos um produto entre um número e uma fração, podemos simplificar em apenas uma fração:

Como temos tanto o número no numerador fazendo uma multiplicação, quanto no denominador, podemos cortá-los:

Invertendo os dois lados da igualdade, ficamos com:

Vimos no passo 1 que:

Então a equação:

Podemos fazer a seguinte substituição:

Logo a relação entre a nova velocidade ao quadrado e a velocidade da luz ao quadrado, temos:

Tirando a raiz quadrada dos dois lados da equação:

Tirando raiz quadrada de um elemento elevado ao quadrado, voltamos ao elemento normal:

Racionalizando, devemos multiplicar por raiz de 3 em cima e em baixo:

O produto de raiz quadrada por outra raiz quadrada é igual ao número original:

Chegamos a opção da letra “c”!