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Equação de Continuidade

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Teoria

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Exercícios UFRB

O raio da aorta é cerca de 1,0   c m e o sangue flui através dela com velocidade de 30,0   c m / s . Calcule a velocidade média do sangue nos capilares dado que cada capilar tem um diâmetro interno de cerca de 8 × 10 - 4 c m e que existem literalmente bilhões deles, de modo que a área de secção transversal total dos capilares é de cerca de 2.000   c m ² .

Passo 1

Falaaa aiiii galeraaaa, animados para começar esta seção?

Espero que siiim ein!!

Bom galerinha, messe exercício temos o sangue fluindo de um “cilindro de área menor”, que é a aorta, e indo para um “cilindro de área maior” que são os bilhões de capilares, certo?

Então temos algo com essa carinha aqui:

Boom, se queremos achar a velocidade lá nos capilares podemos usar a Equação da Continuidade, certinho?

A 1 v 1 = A 2 v 2

Onde A representa a área e v a velocidade! O número 1 aí em baixo significa a aorta (entrada) e o 2 os capilares (saída).

Vamos observar o que o enunciado nos informou

v 1 = 30 c m s

A 2 = 2000   c m 2

Não temos a área da aorta, mas podemos achar, não é? A área da secção transversal dos cilindros é calculada como:

A 1 = π r 2

O problema já nos disse que:

r = 1   c m

Então:

A 1 = π 1   c m 2 = π   c m 2

Passo 2

Se já temos tudo que precisamos só nos resta substituir na equação da continuidade

A 1 v 1 = A 2 v 2

π   c m 2 30 c m s = 2000   c m 2 v 2

Para achar a velocidade nós passamos estes 2000   c m ² para o outro lado dividindo, certo?

v 2 = π   c m 2 30 c m s 2000   c m 2

Perceba que podemos cortar o c m 2 de cima com o de baixo e a resposta será dada com a unidade que restar, no caso c m / s

v 2 = 30 π 2000 c m s

fazendo essa continha (não esquevam que o π vale 3,14 )

v 2 = 0,047 c m s

Shooow!!

Terminamos a primeira da nossa lista!! Vamos seguindo?!

Resposta

v 2 = 0,047 c m s

Exercício Resolvido #2

Exercícios USP

Uma mangueira de diâmetro de 2   c m é usada para encher um balde de 20   l i t r o s .

  1. Se leva 1 m i n u t o para encher o balde. Qual é a velocidade com que a água passa pela mangueira?
  2. Um brincalhão aperta a saída da mangueira até ela ficar com um diâmetro de 5   m m , e acerta o vizinho com água. Qual é a velocidade com que a água sai da mangueira?

Passo 1

Vamos começar mais umaa bem legal?

Beleza então!!

A letra (a) quer saber qual é a velocidade com que a água passa pela mangueira, certo?

Para calcular a velocidade nós podemos usar uma fórmula, não é?

Se lembram qual?

Q 1 = A 1 v 1

Para isolar a velocidade, a área passa para o outro lado dividindo:

v 1 = Q 1 A 1

Então nós só precisamos descobrir a área e a vazão e pronto!

A área da secção transversal dos cilindros é calculada como:

A 1 = π r 2 = π D 2 2

em que r é o raio da seção transversal e D é o diâmetro. O problema já nos disse que:

D = 2   c m

Então:

A 1 = π 2   c m 2 2 = π   c m 2

Só precisamos achar a velocidade!!

O problema não disse qual é a velocidade, mas disse que a mangueira é capaz de encher um balde de 20   L em 1   m i n u t o , isso já é uma velocidade não é?

Então:

Q 1 = 20 L m i n

Mas o negócio aqui é o seguinte, nós precisamos que tudo esteja em cm e em segundos! Então precisamos transformar L em c m ³ e minutos em segundos, se lembram da transformação:

1   L = 10 3 c m 3

1   m i n = 60   s

Então, vamos substituir:

Q 1 = 20 × 10 3   c m 3 60   s = 333,3 c m 3 s

Shooow de bolinhas!! Agora sim nós estamos armados para o cálculo da velocidade

v 1 = Q 1 A 1

v 1 = 333,3 c m 3 s π   c m 2

v 1 = 106,1 c m s

E assim finalizamos a letra (a)!!

Passo 2

Na letra (b) nós precisamos achar qual é a velocidade com que a água sai da mangueira, depois que seu diâmetro se reduz para 5   m m , certo?

Segundo a equação da continuidade, a vazão que entra em uma parte da magueira deve ser igual à vazão que sai:

Q 1 = Q 2 = A 2 v 2

Como queremos a velocidade, vamos passar a área para o outro lado da igualdade dividindo:

v 2 = Q 1 A 2

Da letra (a) nós já sabemos que:

Q 1 = 333,3 c m 3 s

Então, temos só que achar a nova área!!

Lembrando que a área para o cilindro é dada por

A 2 = π D 2 2

O problema já nos disse que

D = 5   m m = 0,5   c m

Então

A 2 = π D 2 2

A 2 = π 0,5   c m 2 2 = 0,196   c m 2

E agora vamos substituir na equação que achamos?

v 2 = Q 1 A 2

v 2 = 333,3 c m 3 s 0,196   c m 2

Observe as unidades. Podemos cortar dois c m da parte de cima com os dois c m da parte de baixo. Aí vai sobrar apenas um c m na parte de cima e o s

v 2 = 1 700,5 c m s

E assim nós chegamos ao fim de mais uma questão!!

Resposta

  1. v 1 = 106,1 c m s
  2. v 2 = 1 700,5 c m s

Exercício Resolvido #3

Exercícios USP

Assumindo o fluxo de um fluido incompressível como o sangue, se a velocidade medida num ponto dentro de um vaso sanguíneo é 40   c m / s , qual é a velocidade num segundo ponto que tem um terço do raio original?

Passo 1

Shooow galerinha!! Vamos seguindo?

Bom galerinha, nós temos o sangue fluindo de um “cilindro de área maior” e indo para um “cilindro de área menor”, certo?

Boom, se nós queremos achar a velocidade lá nos capilares podemos usar a Equação da Continuidade. Vamos lembrar?

A 1 v 1 = A 2 v 2

Onde A representa a área e v a velocidade! O número 1 aí em baixo significa a entrada e   2 a saída.

Se queremos a velocidade na saída, a área A 2 tem que passar para o outro lado dividindo:

v 2 = A 1 v 1 A 2

Já sabemos que:

v 1 = 40 c m s

E a área da seção transversal de um cilindro é dada por:

A 1 = π r 1 2

A 2 = π r 2 2

Não temos nenhum raio, não é? Mas o problema nos contou que neste segundo ponto, o raio é um terço do raio original, ou seja:

r 2 = r 1 3

Substituindo na área deste ponto:

A 2 = π r 1 3 2 = π r 1 2 9

E agora sim!! Vamos colocar tudo na fórmula para achar a velocidade:

v 2 = A 1 v 1 A 2

v 2 = π r 1 2 40 c m s π r 1 2 9

Uma dica para resolver divisão entre frações é a seguinte: repete o numerador e multiplica pelo inverso do denominador

v 2 = π r 1 2 40 c m s × 9 π r 1 2

v 2 = 9 π r 1 2 40 c m s π r 1 2

Nessa parte podemos perceber que tem um π r 1     2 em cima e em baixo. O que podemos fazer com isso? Boa, vamos cortar!

v 2 = 9 × 40 c m s

v 2 = 360 c m s

E assim nós finalizamos mais umaa!!

Resposta

v 2 = 360 c m s

Exercício Resolvido #4

Exercícios UFRB

Qual deverá ser a área de secção transversal de uma tubulação, em que o ar se move a 3,0   m / s , de modo a permitir a renovação do ar, a cada 15   m i n u t o s , em um quarto com 300   m ³ de volume? Admita que a densidade do ar permaneça constante.

Passo 1

Shooow galeraa!! Por aqui a gente não para, não é?

Bom, apesar de ser bem diferente das anteriores aqui nós também podemos usar a equação da continuidade. Se lembram dela?

A 1 v 1 = A 2 v 2

O problema nos pediu A 1 da tubulação, não é?

Para isolá-la nós vamos passar a velocidade v 1 dividindo, ok?

A 1 = A 2 v 2 v 1

Mas as informações que temos no enunciado são

v 1 = 3 m s

V = 300 m 3

Δ t = 15 m i n

Então precisamos dar um jeito de encontrar a A 2 e a v 2 . Vem comigo!

Da física básica nós sabemos que a velocidade é a variação da distância pelo tempo:

v 2 = ∆ S 2 ∆ t

Então, substituindo da fórmula que encontramos para A 1

A 1 = A 2 ∆ S 2 ∆ t v 1

Mais uma coisa bem legal aqui, quando a área está sendo multiplicada por uma variação no comprimento o resultado dessa multiplicação é o volume, se lembram?

Então:

A 2 . ∆ S 2 = V 2

Substituindo na nova fórmula:

A 1 = V 2 v 1 ∆ t

E agora sim ! Com isso nós podemos trabalhar!!

Passo 2

Lembrando que já sabemos

v 1 = 3 m s

V 2 = 300   m 3

∆ t = 15   m i n

Precisamos trabalhar com o tempo em segundos:

1   m i n = 60   s

Substituindo:

∆ t = 15 × 60   s = 900   s

Shooow!! Agora vamos substituir tudo isso na fórmula do Passo 1 :

A 1 = V 2 v 1 ∆ t

A 1 = 300   m 3 3 m s 900   s

A 1 = 0,11   m 2

E assim nós finalizamos mais umaa!!

Resposta

A 1 = 0,11   m 2

Exercício Resolvido #5

Noções de Hidrodinâmica

Um líquido incompressível escoa através de uma mangueira cilíndrica de raio r e enche um recipiente de volume V em um intervalo de tempo   Δ t . A velocidade média de escoamento do líquido é:

  1. V r ∆ t
  2. V 2 π r ∆ t
  3. V π r 2 ∆ t
  4. V π r 2 ∆ t
  5. V π r 2 ∆ t

Passo 1

Vamos que vamos ?!

Bom galera, essa aqui vamos ter que trabalhar só com letras, tem nenhum número!

Para achar a velocidade média de escoamento através de uma mangueira nós podemos usar a equação da continuidade. Se lembram dela?

A 1 v 1 = A 2 v 2

O problema nos pediu v 1 da mangueira, não é?

Para isolá-la vamos passar a área A 1 dividindo, ok?

v 1 = A 2 v 2 A 1

Como precisamos achar a velocidade em função do volume e do tempo vamos fazer algumas manipulaçõpes matemáticas!

Da física básica nós sabemos que a velocidade é a variação da distância pelo tempo:

v 2 = ∆ S 2 ∆ t

Então, substituindo isso na nossa equação da velocidade

v 1 = A 2 ∆ S 2 ∆ t A 1

Mais uma coisa bem legal aqui, quando a área está sendo multiplicada por uma variação no comprimento o resultado dessa multiplicação é o volume, se lembram?

A 2 ∆ S 2 = V 2

Substituindo na nova fórmula:

v 1 = V 2 A 1 ∆ t

A área da secção transversal de um cilindro é dada por:

A 1 = π r 2

Substituindo:

v 1 = V 2 π r 2 ∆ t

E é isso aí! A resposta certa é a letra (c) !!

Resposta

L e t r a   C   ‼

Exercício Resolvido #6

Young and Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas.

Quando a densidade cresce 1,50 % de um ponto 1 até o ponto 2 , o que ocorre com a vazão volumétrica?

Passo 1

Mais uma bem diferentona pra vocês aprenderem tudo sobre Equação da Continuidade!!

A cara mais usual dessa equação é:

Q 1 = Q 2

A 1 v 1 = A 2 v 2

Mas temos que tomar cuidado aqui. Só podemos usar essa fórmula quando o fluido não paresenta variações na sua densidade!!

A forma mais correta dessa equação é dada por:

Q 1 ρ 1 = Q 2 ρ 2

A 1 v 1 ρ 1 = A 2 v 2 ρ 2  

Perceba que se as densidades fossem iguais, poderíamos cortá-las e voltaríamos para a equação anterior. Mas como nesse exercício as densidades são diferentes, temos que usar essa forma “mais correta” de escrever, beleza?

O problema nos disse que ρ 2 corresponde a um aumento de 1,5 %   d e   ρ 1 . Temos que lembrar que podemos escrever qualquer porcentagem como uma divisão por 100 . Então

1,5 % = 1,5 100 = 0,015

Além disso, como a densidade “cresce 1,50 % ”, significa que tem 1,5 % a mais dos 100 % que já tinha. E podemos escrever 100 % como

100 % = 100 100 = 1

Show! agora ficou fácil descobrir como escrevemos 1,5 % a mais! É só somar essas duas porcentagens

100 % + 1,5 % = 1 + 0,015 = 1,015

Beleza pura! Vamos colocar isso na densidade

ρ 2 = 1,015 ρ 1

Passo 2

Agora que sabemos o valor da nova densidade podemos colocar na equação da continuidade que relaciona a densidade e as vazões

Q 1 ρ 1 = Q 2 ρ 2

Q 1 ρ 1 = Q 2 1,015 ρ 1

Como a densidade ρ 1 está presente nos dois lados da igualdade, podemos cortar

Q 1 = 1,015 Q 2

Se queremos achar a vazão volumétrica de 2 , basta passarmos o 1,015 para o outro lado do igual dividindo:

Q 2 = Q 1 1,015

Q 2 = 0,9852 Q 1

Para passar isso para porcentagem é só fazer

0,9852 × 100 % = 98,52   %    

Ou seja, a vazão deste segundo ponto será cerca de 98,52   %     da vazão do ponto 1 !!

Legal, não é?!

Resposta

98,52   %

Exercício Resolvido #7

Noções de Hidrodinâmica

Considere duas regiões distintas do leito de um rio: uma larga A , com 200,0   m ² de área na secção transversal, onde a velocidade média da água é de 1,0   m / s ; outra estreita B , com 40,0   m ² de área na secção transversal. Calcule:

  1. a vazão volumétrica do rio, em m 3   / s ;
  2. a velocidade média da água do rio, em m / s , na região estreita   B

Passo 1

Mais uma beem legal, animados para continuar?!

Bom galerinha, sabemos que a vazão de água que sai da parte A do rio é a mesma que chega na parte B , certo?

Então

Q A = Q B

Lembrando que a vazão é a área vezes a velocidade:

A A v A = A B v B

Então para calcular a vazão do rio, podemos usar tanto a parte A do rio, quanto para a parte B !!

Para a parte A nós temos tudo que precisamos, não é?

A A = 200   m 2

v A = 1 m s

Então a vazão é simplesmente:

Q A = A A v a

Q A = 200   m 2 1 m s = 200 m 3 s

Shoow de bola, não é ?!

Passo 2

Já na letra (b) nós queremos achar a velocidade da água do rio na região B , certo?

Já sabemos que a velocidade nessa parte estreita se relaciona com a parte larga do rio, como já vimos no Passo 1 :

Q A = A B v B

Para isolar a velocidade, vamos passar a área para o outro lado dividindo:

v B = Q A A B

Já sabemos que:

Q A = 200 m 3 s

A B = 40   m 2

Então:

v B = 200 m 3 s 40   m 2

v B = 5 m s

Legal, né?!

Resposta

  1. Q A = 200 m 3 s
  2. v B = 5 m s

Exercício Resolvido #8

Young and Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas.

A água escoa em um tubo cilíndrico cuja seção reta possui área variável. A água enche completamente o tubo em todos os pontos.

  1. Em um ponto o raio do tubo é igual a 0,150   m . Qual é a velocidade da água nesse ponto se a vazão volumétrica no tubo é igual a 1,20   m 3 / s ?
  2. Em um segundo ponto a velocidade da água é igual a 3,80   m / s . Qual é o raio do tubo nesse ponto?

Passo 1

Vamos que vamos?!

Bom galerinha,na letra (a) temos que achar a velocidade, certo?

Já sabemos que a vazão se relaciona com a área e a velocidade do fluido naquele ponto

Q 1 = A 1 v 1

Se queremos a velocidade, a área passa para o outro lado dividindo

v 1 = Q 1 A 1

A área da seção transversal de um cilindro é dada por

A 1 = π r 1 2

Substituindo essa área na equação da velocidade que encontramos

v 1 = Q 1 π r 1 2

E pelo enunciado sabemos que

Q 1 = 1,2 m 3 s

r 1 = 0,15   m

Então:

v 1 = 1,2 m 3 s π 0,15   m 2

Fazendo essa continha, encontramos

v 1 ≅ 17 m s

Bora seguir pra (b)?

Passo 2

Na letra (b) nós queremos saber o raio em um ponto diferente, certo?

Para isso vamos usar a mesma relação anterior:

Q 2 = A 2 v 2

Sabendo que a área é dada por:

A 2 = π r 2 2

Substituindo essa área na equação de Q 2 , ficamos com

Q 2 = π r 2 2 v 2

Se o que queremos é o raio, tudo que está do lado dele vai passar para o outro lado dividindo:

r 2 2 = Q 2 π v 2

Tirando a raiz dos dois lados:

r 2 2 = Q 2 π v 2

r 2 = Q 2 π v 2

Sabendo que a vazão nos dois pontos são iguais

Q 1 = Q 2 = 1,2 m 3 s

E

v 2 = 3,8 m s

Então

r 2 = 1,2 m 3 s π 3,8 m s

r 2 = 0,317   m

Mais uma finalizada com sucesso!!

Resposta

  1. v 1 ≅ 17 m s
  2. r 2 = 0,317   m

Exercício Resolvido #9

Apostila Hidrodinâmica

A água escoa através de um tubo que possui uma redução responsável por reduzir o diâmetro para 70 % do seu tamanho inicial.

Se a velocidade da água na seção maior do tubo é de 20   m / s , qual será a sua velocidade nesta seção menor?

Passo 1

Quase terminando em galerinha, forçaa!!

O que temos é o seguinte, um fluido está escoando sobre um tubo com diâmetro grande, D 1 , até que ocorre uma redução de 70 % desse diâmetro D 2 .

Vamos escrever essa relação entre os diâmetros. Lembrando que podemos escrever qualquer porcentagem como uma divisão por 100 , então

70 % = 70 100 = 0,70

Show! Agora sabemos como escrever em “matematiques” que o diâmetro D 2 fica 70 % do diâmetro D 1

D 2 = 0,7 D 1

Vamos guardar essa relação que vai ser importante!

Passo 2

Bom, se queremos achar a velocidade na seção menor podemos usar a equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Isolando a velocidade neste ponto 2 , a área A 2 vai para o outro lado dividindo:

v 2 = A 1 v 1 A 2

A área da secção transversal do cilindro é dada por:

A 1 = π r 1 2 = π D 1 2 2

A 2 = π r 2 2 = π D 2 2 2

Chegou o momento de usar aquela relação das diagonais que encontramos no passo 1 !

A 2 = π 0,7 D 1 2 2

Substituindo essas áreas na fórmula que encontramos para a velocidade v 2

v 2 = π D 1 2 2 v 1 π 0,7 D 1 2 2

Nossa, essa relação ficou feia demais! hehe. Mas podemos fazer umas simplificações. Repare que tem um π em cima e em baixo, podemos cortar e elevar todo mundo que está dentro dos parênteses ao quadrado

v 2 = D 1 2 4 v 1 0,7 2 D 1 2 4

Bem... ainda não ajudou muito, né!? Mas ainda dá para cortar mais coisas aí. Vamos linchar aquele D 1 2 4 que está em cima e em baixo

v 2 = v 1 0,7 2

Olha como ficou mais bonito, dá até um alívio no coração, não é? Vamos só elevar aquele 0,7 ao quadrado agora

v 2 = v 1 0,49

Passo 3

Sabemos também que a velocidade no ponto 1 é:

v 1 = 20 m s

Então:

v 2 = 20 m s 0,49

v 2 = 40,8 m s

O que acharam desta?!

Resposta

v 2 = 40,8 m s

Exercício Resolvido #10

Halliday – Vol. 2

A água que sai de um cano de 1,9   c m (diâmetro interno) passa por três canos de 1,3   c m .

  1. Se as vazões nos três canos menores são 26 ,   19 e 11   L / m i n . Qual é a vazão no tubo de 1,9   c m ?
  2. Qual é a razão entre a velocidade da água no cano de 1,9   c m e a velocidade no cano em que a vazão é 26   L / m i n ?

Passo 1

E aqui vamos finalizar com chave de ouro ein!!

A letra (a) quer que a gente ache a velocidade do tubo maior!!

Se a água está escoando no tubo grande e se divide em três menores:

Q m a i o r = Q A + Q B + Q C

Sabendo que:

Q A = 26 L m i n

Q B = 19 L m i n

Q C = 11 L m i n

Então:

Q m a i o r = 26 L m i n + 19 L m i n + 11 L m i n

Q m a i o r = 56 L m i n

Só isso!! Tranquilinho?!

Passo 2

Bom, a letra (b) quer saber qual é a razão entre a velocidade da água no cano de 1,9   c m e a velocidade no cano em que a vazão é 26   L / m i n .

Escrevendo matematicamente:

v 1,9   c m v 26   L / m i n =   ?

Primeiramente, vamos relembrar como se calcular a vazão com relação a velocidade, ok?

Q = A v

Isolando a velocidade, vamos passar a área para o outro lado dividindo:

v = Q A

A área da secção transversal do cilindro é dada por:

A = π D 2 2 = π D 2 4

Substituindo:

v = Q π D 2 4

Agora, como nós temos o Q dividindo por uma fração, o que faremos?

Basta multiplicarmos o numerador pelo inverso do denominador:

v = Q ⋅ 4 π D 2 = 4 Q π D 2

Colocando na nossa razão:

v 1,9   c m v 26   L / m i n = 4 Q 1,9   c m π D 1,9   c m 2 4 Q 26   L / m i n π D 26   L / m i n 2

Mais uma divisão por fração, então novamente nós multiplicaremos o numerador pelo inverso do denominador:

v 1,9   c m v 26   L / m i n = 4 Q 1,9   c m π D 1,9   c m 2 × π D 26   L / m i n 2 4 Q 26   L / m i n

Tem algumas coisas em comum no numerador e no denominador que podemos simplificar, aquele 4 e o π . Então faremos isso

v 1,9   c m v 26   L / m i n = Q 1,9   c m D 1,9   c m 2 × D 26   L / m i n 2 Q 26   L / m i n

Já sabemos que:

Q 1,9   c m = 56 L m i n

Q 26   L / m i n = 26 L m i n

D 1,9   c m = 1,9   c m

D 26   L / m i n = 1,3   c m

Substituindo:

v 1,9   c m v 26   L / m i n = 56 L m i n 1,9   c m 2 × 1,3   c m 2 26 L m i n

v 1,9   c m v 26   L / m i n ≅ 1

E aí galeerinhaa, o que acharam dessa?!

Resposta

  1. Q m a i o r = 56 L m i n
  2. v 1,9   c m v 26   L / m i n ≅ 1