Equação de Bernoulli
Teoria
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Apostila Kroton
Um grande reservatório de água tem um pequeno furo abaixo do nível da água. Qual é a velocidade com a qual a água escapa na horizontal por meio do furo?
Passo 1
Falaaa aiiii galeraaaa, animados para começar esta seção?
Espero que siiim ein!!
Bom galerinha, nós queremos achar a velocidade que a água está deixando o orifício, certo?
E como faremos isso?
Nestes casos podemos usar a famosa Equação de Bernoulli, bora ver?
Shooow!!
Então vamos chamar o orifício de e a superfície do reservatório de , certo?
Optei aqui por colocar o oricício como a minha altura zero, mas vocês poderiam ter feito de outra forma! Só que assim vai facilitar pra gente!!
Dica: Em das vezes, escolher o ponto mais baixo como sendo zero facilita bastante (guarde isso no coração ♥)
Já sabemos que:
Com relação as velocidades, precisamos fazer uma aproximação.
Concorda comigo que a área da superfície do líquido é muito maior do que a área do furo?
Então, a velocidade com que o nível da água desce é tão pequena comparada com a velocidade que a água sai do furo que podemos desprezar. Então vamos considerar
(esse raciocínio pode ser uzado em das vezes)
E agora a nossa equação fica um pouco mais simples
Perceba que o ponto está em contato com a atmosfera, então podemos dizer que a pressão em é a pressão atmosférica mesmo (). E qual seria a pressão no ponto ? Quando a água começa a sair pelo orifício, ela também fica em contato com a atmosfera, então podemos dizer que a pressão no ponto também é , ou seja:
Na equação:
Se o termo está presente dos dois lados da igualdade, com o mesmo sinal eles vão se cancelar:
E aqui novamente, densidade presente dos dois lados da igualdade, então:
Mas o que queremos é a velocidade, então vamos passar este para o outro lado da igualdade multiplicando:
E aplicamos a raíz dos dois lados da equação:
Passo 2
Olha que legal, conseguimos transformar aquele monstro em algo bem mais simples, não é?!
Agora vamos olhar o que temos?
Substituindo na fórmula que encontramos da velocidade:
Legal, né não ?!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Apostila Estática, Hidrostática e Hidrodinâmica
As superfícies e do tubo indicado na figura possuem áreas e , respectivamente. Um líquido de densidade escoa pelo tubo e apresenta, no ponto , velocidade e pressão . Determine a velocidade e a pressão do líquido no ponto .
Passo 1
Shoow galerinhaa !!
Acabamos de ver que trabalhar com a equação de Bernoulli pode parecer cabuloso mas no fundo é bem tranquilo e bem legal!
A primeira coisa que o problema nos pediu foi a velocidade na seção , certo?
De cara a Equação de Bernoulli não nos ajuda porque ela precisa dessas duas coisas que estão sendo pedidas
Mas nós temos a Equação da Continuidade, não é? Então vamos usá-la
Isolando a velocidade no ponto , vamos passar a área para o outro lado dividindo
O problema nos disse que:
Substituindo:
Tomem cuidado com as unidades, nesse caso não precisamos converter porque tem em cima e em baixo e eles acabam se anulando. A unidade de será o que restou
Passo 2
Agora precisamos achar a pressão no ponto , certo?
E agora sim é a vez dela, a Equação de Bernoulli!!
Pelo desenho vemos que a altura do ponto central de cada seção é igual:
Substituindo:
Como o termo está presente nos dois lados com o mesmo sinal (), eles se cancelam:
Sabendo que:
Só nos resta substituir, não é?
Precisamos resolver essa conta. Primeiro faremos as divisões
Agora elevaremos os números que estão ao quadrado
Podemos multiplicar os parênteses
Agora precisamo tomar um pouco de cuidado. Perceba que as potências de não estão com o mesmo expoente, precisamos fazer com que esses expoentes fiquem iguais.
Para isso, transformaremos o
E nossa equação fica
O termo passa para o outro lado da igualdade com sinal contrário:
Nesse momento vai fazer sentido ter transformado as potências de para o mesmo expoente, agora podemos colocar o em evidência!
Shooow!!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Apostila Estática, Hidrostática e Hidrodinâmica
Um líquido de densidade flui pelo tubo indicado na figura, passando pelo ponto com velocidade e pelo ponto com velocidade . A pressão no ponto é . Determine:
- a razão entre as áreas das seções transversais e ;
- a pressão no ponto .
Passo 1
Vamos continuando?
A primeira coisa que o problema nos pediu foi a razão entre as áreas das seções transversais e , certo? Mas o que seria essa razão? A razão é nada mais, nada menos, que a divisão entre as áreas e . Ou seja, estamos interessados em calcular
De cara a Equação de Bernoulli não nos ajuda porque não tem as áreas na equação
Mas temos a Equação da Continuidade, não é? E acabamos de ver que ela é dada por:
Como o que queremos é , vamos passar a área da seção transversal dividindo para o outro lado:
E essa velocidade aí também passa para o outro lado dividindo, certo?
O problema nos disse que:
Substituindo:
Show! A letra (a) já foi para o saco.
Passo 2
Para calcular a letra (b) precisamos achar a pressão no ponto , certo?
E agora sim é a vez dela, a Equação de Bernoulli!!
Pelo desenho vemos que a altura do ponto central de cada seção é igual:
Substituindo:
Como o termo está presente nos dois lados com o mesmo sinal (), eles se cancelam:
Sabendo que:
Só nos resta substituir, não é?
O termo passa para o outro lado da igualdade com sinal contrário:
Chegamos ao final de mais umaa!!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Apostila Kroton
Um engenheiro trabalha em uma indústria que contém grandes tubulações de água, usada para resfriar um tanque no qual ocorrem reações exotérmicas. Em determinado ponto, a tubulação eleva-se em , como ilustra a figura. Existem sensores de pressão na tubulação em ambas as alturas, que indicam um mesmo valor na leitura. Ele precisa conhecer a velocidade da água no nível mais alto, sabendo que ela entra no nível mais baixo com velocidade . Ele sabe que a água pode ser considerada um fluido aproximadamente incompressível e com baixa viscosidade.
Passo 1
Animados para mais umaa?!
Bom galerinha, problemas com esta carinha aí vocês já sabem que podemos usar a famosa Equação de Bernoulli:
O problema nos contou que em ambos os pontos a pressão é a mesma:
Na equação:
Se o termo está presente dos dois lados da igualdade, com o mesmo sinal () eles vão se cancelar:
Agora podemos assumir que o ponto mais baixo terá altura igual a zero, só para facilitar nossas contas:
Substituindo:
Se a densidade está presente em todos os termos, podemos cortar:
Aos pouquinhos nossa equação gigantesca vai diminuindo. Precisamos achar o que mesmo?
A velocidade no ponto mais alto, ou seja, !! Vamos isolá-la passando o termo para o outro lado com sinal oposto:
O que está dividindo, faz o que? Passa para o outro lado multiplicando:
Agora o multiplica cada termo dentro do parênteses:
Aplicamos a raiz dos dois lados:
Shooow!! Encontramos uma fórmula para calcular a velocidade!
Passo 2
Agora vamos ver o que temos:
Substituindo:
Gostaram dessa?!
Resposta
Exercício Resolvido #5
Apostila Kroton
Uma tubulação eleva-se em , como ilustra a figura. Existem sensores de pressão na tubulação em ambas as alturas, que indicam um mesmo valor na leitura. Qual é a velocidade da água no nível mais alto, sabendo que ela entra no nível mais baixo com velocidade ? A água pode ser considerada um fluido aproximadamente incompressível e com baixa viscosidade.
Passo 1
Vamos continuando?
Essa é bem similar a anterior e por isso vocês já sabem como faremos, não é?
Bom galerinha, problemas com esta carinha aí nós podemos usar a famosa Equação de Bernoulli
O problema nos contou que em ambos os pontos a pressão é a mesma:
Na equação:
Se o termo está presente dos dois lados da igualdade, com o mesmo sinal () ele vão se cancelar:
Agora podemos assumir que o ponto mais baixo terá altura igual a zero, só para facilitar nossas contas:
Substituindo:
Se a densidade está presente em todos os termos podemos cortar:
Nós precisamos achar o que mesmo?
A velocidade no ponto mais alto, ou seja, !! Vamos isolá-la passando o termo para o outro lado com sinal oposto:
O que esta dividindo, faz o que? Passa para o outro lado multiplicando:
Agora o multiplica cada termo dentro do parênteses:
Aplicamos a raíz dos dois lados:
Shooow!!
Passo 2
Achamos a fórmula, e agora? Agora vamos ver o que temos:
Substituindo:
Gostaram dessa?!
Resposta
Exercício Resolvido #6
Apostila Estática, Hidrostática e Hidrodinâmica
Pretende-se medir a vazão de um líquido que escoa por uma canalização. Para isso, utiliza-se um aparelho chamado tubo de Venturi, que consiste essencialmente de um tubo cujas seções e têm áreas e conhecidas. A diferença de pressão entre os pontos e é medida por meio do desnível do líquido existente nos tubos verticais. O tubo de Venturi é inserido na canalização, conforme mostra a figura. Sendo , , , e a densidade do líquido, determine a vazão do líquido através da canalização.
Passo 1
Galerinhaa do meu coração, essa aqui é um pouco diferente das demais, não é?
Mas não vamos nos assustar!!
O problema nos pediua a vazão, e como vimos na Equação da Continuidade que pode ser calculada como:
Também podemos usar o ponto , porque a vazão que entra em tem que sair em , não é?!
Beleza! A área nós temos, mas nada de velocidade ainda
Que tal usarmos aqui a Equação de Bernoulli?
A altura do ponto central das duas seções é a mesma, então:
Na fórmula:
Como o termo está nos dois lados da igualdade com o mesmo sinal podemos cancelar:
Temos quase nada! Eita lasqueira!!
Mas vamos fazer uma manipulação matemática e mandar a pressão de para o outro lado da igualdade com sinal contrário, assim como o termo
Essa variação de pressão nós temos uma fórmula para ela, não é?
Se não se lembram, eu mostro pra vocês:
Então:
Como a densidade está presente em todos os termos, vamos cortar:
Multiplicando todos os termos por para facilitar a nossa vida lá na frente:
Passo 2
Ainda não dá para calcular a velocidade com o que temos até agora ☹
Camos recorrer a equação da continuidade!
Isolando a velocidade no ponto , vamos passar a área para o outro lado dividindo:
As áreas nós temos, não é?
Então:
E substituindo isso na equação do Passo :
Passamos o para o outro lado dividindo:
Tiramos a raiz dos dois lados:
Sabendo que:
Substituindo:
Passo 3
Achamos o que queríamos?
Que nada!! Queremos a vazão
Sabemos que:
Vamos precisar transformar esse aí em , ok? Se lembram da transformação?
Então:
Agora que temos tudo, basta substituir:
Podemos deixar assim, ou transformar em , lembrando que:
Então:
Gostaram dessa ?!
Resposta
Exercício Resolvido #7
Apostila Kroton
Uma tubulação eleva-se em , como ilustrado abaixo. Sabendo que e , e que a pressão no nível inferior da tubulação é de , qual é a pressão no nível mais alto? A água pode ser considerada um fluido aproximadamente incompressível e com baixa viscosidade.
Passo 1
Bora seguir?!
Bom, vocês já sabem que vamos precisar usar a equação de Bernoulli, não é?
Agora podemos assumir que o ponto mais baixo terá altura igual a zero, só para facilitar nossas contas:
Substituindo:
Se queremos a pressão no ponto nós vamos passar os outros termos para o outro lado com sinal oposto:
Shooow!!
Passo 2
Achamos a fórmula, e agora? Agora vamos ver o que temos:
Para a água:
Substituindo:
Então a resposta certa será a letra (b) !!
Resposta
Exercício Resolvido #8
Apostila Estática, Hidrostática e Hidrodinâmica
Pretende-se medir a velocidade de um líquido que escoa por uma canalização. Para isso, insere-se na canalização um tubo de Venturi, conforme a figura (: desnível do líquido existente nos tubos verticais; : aceleração da gravidade; e : áreas das seções transversais e ).
Prove que:
Passo 1
Faaaala meus queridos, vamos seguir?!
Essa questão é daquelas que só envolve letras. Vamos ver como fica.
Queremos a velocidade, não é?! Então vamos usar a Equação de Bernoulli:
A altura do ponto central das duas seções é a mesma, então:
Na fórmula:
Como o termo está nos dois lados da igualdade com o mesmo sinal podemos cancelar:
Não temos quase nada! Eita lasqueira!!
Mas vamos fazer uma manipulação matemática e mandar a pressão de para o outro lado da igualdade com sinal contrário, assim como o termo
Essa variação de pressão nós temos uma fórmula para ela, não é?
Caso não lembram, eu mostro pra vocês:
Então:
Como a densidade está presente em todos os termos, vamos cortar:
Multiplicando todos os termos por para facilitar a nossa vida lá na frente:
Passo 2
Com isso nós conseguimos calcular a velocidade ?
Que nada, não é? Porque não temos a velocidade em !!
E aqui trazemos novamente a equação da continuidade, lembrando que a vazão nos dois pontos são iguais:
Isolando a velocidade no ponto , vamos passar a área para o outro lado dividindo:
Substituindo na equação do Passo :
Colocando o em evidência
Vamos passar o termo que acompanha a velocidade para o outro lado dividindo:
Tiramos a raíz dos dois lados:
E chegamos ao fim de mais umaa!! Bem legal, não é?!
Resposta
Exercício Resolvido #9
Apostila Kroton
Se um fluido incompressível e de viscosidade desprezível escoa em regime laminar em uma tubulação fechada estendida na horizontal, sua vazão será _____. Se a tubulação mudar de modo que a área por onde escoa o fluido sofra uma redução, a velocidade dele ____ , como
mostra a equação _____.
Marque a alternativa que preenche corretamente as lacunas da frase anterior:
a) Constante; diminuirá; da continuidade.
b) Sempre maior; aumentará; da continuidade.
c) Constante; diminuirá; de Bernoulli.
d) Constante; aumentará; da continuidade.
e) Sempre maior; se manterá constante; de Bernoulli
Passo 1
Essa daqui é uma teórica bem legal para vocês frizarem bem todos os conceitos que aprendemos até aqui !!
Bora lá ?!
Beleza galera, a primeira questão é relativa a vazão! Já vimos que em um tubo fechado, a vazão que entra em um ponto deve sair pelo outro, não é ?!
Se a vazão não muda isso faz dela o que?
Acertou quem disse constante !!
Passo 2
Bom, se a tubulação mudar de modo que a área por onde escoa o fluido sofra uma redução, o que vai ocorrer com a velocidade ?!
Vocês se recordam dos nossos exercícios?
A área e a velocidade se relacionam por meio de uma equação que chamamos Equação da Continuidade !!
Isso aí já responde nossa terceira pergunta, não é?
Passo 3
Para responder nossa segunda questão vamos lembrar da equação da continuidade
Isolando a velocidade no ponto , vamos passar a área para o outro lado dividindo:
Vamos supor alguns valores para a área , que deve ser menor que ?
Então:
Concluímos assim que, se a área diminui a velocidade aumenta !!
Então a resposta certa seria: constante, aumenta, da Continuidade.
E a resposta é a letra (d) !!
Entenderam ?!
Resposta
Exercício Resolvido #10
Apostila Kroton
Um fluido incompressível e de viscosidade desprezível escoa em regime laminar em uma tubulação fechada estendida na horizontal. Em determinado momento, ele encontra um alargamento na tubulação. Marque a alternativa que indica o que ocorre, respectivamente, com a velocidade do fluido e com a pressão:
a) Aumenta; aumenta.
b) Aumenta; diminui.
c) Diminui; diminui.
d) Diminui; aumenta.
e) Diminui; mantém-se constante.
Passo 1
Essa daqui é para fechar a seção com chave de ouro !!
A equação da continuidade nos fala a relação entre áreas e velocidades, não é?
Isolando a velocidade no ponto , vamos passar a área para o outro lado dividindo:
Vamos supor alguns valores para a área , que deve ser maior que ?
Então:
Concluímos assim que, se a área aumenta a velocidade diminui!!
Passo 2
E para avaliar a pressão?
O problema nos disse que a tubulação tem essa cara aqui:
E agora sim é a vez dela, a Equação de Bernoulli !!
Pelo desenho nós vemos que a altura do ponto central de cada seção é igual:
Substituindo:
Como o termo está presente nos dois lados com o mesmo sinal (+), eles se cancelam:
Temos uma igualdade, certo?
O termo é constante, então se a velocidade diminui, o termo também deve, obrigatoriamente, diminuir !!
Se o termo diminui, a pressão deve aumentar nesse ponto para que a igualdade permaneça, certo?
Sendo assim, a pressão aumenta !!
E qual a resposta certa?
Acertou aí quem disse letra (d) !!